多視圖幾何總結——基礎矩陣、本質矩陣和單應矩陣的自由度分析

• 多視圖幾何總結——基礎矩陣、本質矩陣和單應矩陣的自由度分析
• • 總結
  • 基礎矩陣自由度
  • • （1）幾何推導
    • （2）代數推導
    • （3）直觀理解
  • 本質矩陣自由度
  • 單應矩陣自由度

多視圖幾何總結——基礎矩陣、本質矩陣和單應矩陣的自由度分析

總結

首先給出結論，矩陣的自由度反應了矩陣中每個元素的約束的狀態，基礎矩陣（Fundmental Matrix）具有7個自由度，本質矩陣（Essential Matrix）具有5個自由度，單應矩陣（Homography Matrix）具有8個自由度，通過對自由度的分析，可以進一步了解各個矩陣的性質，下面逐個對其自由度進行分析

基礎矩陣自由度

基礎矩陣的定義：在對極幾何中存在一個從一幅圖像上的點到另一幅圖像與之對應的極線的映射，基礎矩陣即表示該射影映射

（1）幾何推導

基本矩陣（F矩陣）可以分解為兩步，第一步是將$x$通過射影變換映射到$x^{\prime }$；第二步是連接$x^{\prime }$和極點$e^{\prime }$即獲得對極線$l^{\prime }$。
第一步可以通過下圖理解，$X$是空間中的點，而$x,x^{\prime }$分別是它在兩幅圖像上的投影點，應為$x,x^{\prime }$在同意平面上，因此存在一個射影變換$H_{\pi }$。

下圖是多視圖幾何第二章中解釋射影變換的幾個例子，對極幾何就屬于其中的第一種。

第二步可以理解為，過$x^{\prime }$和極點$e^{\prime }$的對極線可以記為$l^{\prime }=e^{\prime }\times x^{\prime }=[e^{\prime }{]}_{\times }x‘$ 。
綜上兩步有$$l’=[e^{\prime }{]}_{\times }{H}_{\pi }x=Fx$$由此可以過得F矩陣的幾何定義形式，$[e^{\prime }{]}_{\times }$秩為2(反對稱矩陣的秩為偶數，可以通過SVD分解證明)，$H_{\pi }$的秩為3，因此F矩陣的秩為2，因此F矩陣是不可逆矩陣。
下面來分析F矩陣的自由度，首先F矩陣是三階的，最高自由度為9，然后其滿足尺度等價性（因為圖像坐標是通過齊次坐標表示，因此你矩陣同乘一個常數，最后求得的坐標其實是一致的，可以理解為$H_{33}$衡等于1，或者滿足一個約束等式），因此自由度減一，再其次其滿足不可逆矩陣的性質，行列式為零的約束等式，因此自由度再減一，因此自由度為7

（2）代數推導

代數的推導可以參看這個知乎知乎回答本質矩陣和基礎矩陣的區別是什么，我覺得已經回答得很好了，就不再復述了（主要是敲公式實在太慢），大致思想就是把一幅圖像上的投影點通過反投影獲得空間中的點，然后將這個空間點和這幅圖像對應的相機中心（也是一個空間點）投影到另外一幅圖像上去，作這兩個點的叉乘就可以獲得對極線，推得結果如下$$l^{\prime }=[P^{\prime }C{]}_{\times }{P}^{\prime }{P}^{?}x=[e^{\prime }{]}_{\times }{P}^{\prime }{P}^{?}x=Fx$$其中，$C$就是攝像機的中心，滿足$PC=0$（其實$C=(0,0,1{)}^T$），上述結果和幾何推導的結果是一致的，其自由度分析也同上。

（3）直觀理解

假設$l,l^{\prime }$是兩幅圖像的對極線，則$l$上的所有點都可以映射到同一極線$l^{\prime }$上，即這個點到線的映射是不存在逆映射的，因此$F$矩陣不是滿秩的，自由度分析同上。

補充：在相機純平移運動時，F矩陣自由度退化為2，在純平面運動時，自由度退化為6。

本質矩陣自由度

本質矩陣是歸一化坐標系下基礎矩陣的特殊形式，通過上面的推到已經知道F矩陣滿足：$$F=[e^{\prime }{]}_{\times }{P}^{\prime }{P}^{?}=[P^{\prime }C{]}_{\times }{P}^{\prime }{P}^{?}$$假設$F$矩陣是兩個個已標定的攝像機的變換矩陣且世界坐標系在第一個攝像機上：$$P=K[I|0]P^{\prime }=K^{\prime }[R|t]$$$E$矩陣是歸一化坐標系下的變換矩陣，因此$K$和$K^{\prime }$可以視為單位矩陣，帶入上式即可得$$E=[t{]}_{\times }R$$由此可得，本質矩陣（E矩陣）平移$t$的待自由度是3（xyz三個方向），旋轉矩陣$R$的自由度是3（row，pitch，yaw三個方向），所以其自由度最高是6，同時$E$滿足尺度等價性約束，所以$E$的自由度減一，其自由度為5。

單應矩陣自由度

單應矩陣所有的空間點都再同一個平面上，則兩幅圖像中的點都滿足同一個射影變換，該射影變換即單應矩陣，射影變換的自由度為9，其同樣具有尺度等價性（因為圖像坐標是通過齊次坐標表示，因此你矩陣同乘一個常數，最后求得的坐標其實是一致的），因此自由度減一，其自由度為8。

上述自由度分析或者推導中如有問題，歡迎指正。

此外，對SLAM算法感興趣的同學可以看考我的博客SLAM算法總結——經典SLAM算法框架總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多视图几何总结——基础矩阵、本质矩阵和单应矩阵的自由度分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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