多視圖幾何總結——等距變換、相似變換、仿射變換和射影變換

• 多視圖幾何總結——等距變換、相似變換、仿射變換和射影變換
• • 等距變換
  • 相似變化
  • 仿射變換
  • 射影變換
  • 總結

多視圖幾何總結——等距變換、相似變換、仿射變換和射影變換

多視圖幾何再2.4節中介紹好幾種變換，有時候容易繞懵，這里花點時間簡單總結下
首先只管感受下這幾種變換

其中圖a是相似變換，其效果是圓仍然是圓，正方形仍然是正方形；圖b是仿射變換，其效果是圓變成橢圓，垂線不再垂直；圖c是射影變換，其效果是平行線變成匯聚線，下面分別從數學層面介紹這幾種變換。

等距變換

等距變換也就是我們在機器人中所學的剛體變換，其分塊形式為

其中$R$為旋轉矩陣（為正交陣），$t$為平移矢量，在平面等距變換中矩陣一共有三個自由度，旋轉一個，平移兩個

其變換不變量是：長度、角度和面積

相似變化

相似變換是等距變換與均勻縮放的復合，其分塊形式為：

觀察矩陣形式，其實就是在旋轉矩陣上加了一個縮放因子s，其一共有四個自由度，因為比等距變換多了一個自由度

其不變量為：長度的比率、角度和面積的比率

仿射變換

其分塊形式為

其中A是一個$2\times 2$的非奇異矩陣，因此仿射變換一共六個自由度，其中比較有意思的是對矩陣$A$的理解，可以對$A$進行SVD分解$$A=UD{V}^T=(U{V}^T)(VD{V}^T)=R(\theta )(R(??)DR(?))$$因此仿射矩陣可以看成一個旋轉$(?)$，加上在已旋轉的$x$和$y$方向分別進行比例因子${\lambda }_1$和${\lambda }_2$（分解出來的特征值或者說矩陣$D$的對角線元素）分別進行按比例縮放，再加上一個回轉$(??)$和最后一個旋轉的符合類型$(\theta )$，這在我學矩陣論是遇到SVD分解時就思考過的問題，這里解釋得很好，可以參考下圖理解

其不變量為：平行線段的長度比，平行線和面積比（所有面積都縮放${\lambda }_1{\lambda }_2$倍）

補充：
仿射變換是保持無窮遠線不變形的最一般的線性變換，這句話的意思就是說，例如射影變換是會將無窮遠點變成有限點，因此原本平行的直線不再平行，而仿射變換之后平行直線仍然平行，因為其不改變無窮遠點的性質

射影變換

其分塊形式為

仿射變換是非齊次坐標的一般非奇異線性變換和一個平移的符合，其一共具有八個自由度

其不變量為：共點，共線，接觸的階還有長度的比率的比率

總結

這里可以注意下仿射變換和射影變換的區別如下：
仿射變換

射影變換

其中$(x_1,x_2.0{)}^T$是無窮遠點（無窮遠點的表示方法就是其次坐標最后一位為0），可以發現通過仿射變換無窮遠點還是無窮遠點，但是通過射影變換可以將無窮遠點變換為有限點，正因為如此，射影變換可以完成消除透視失真操作：

最后鋪上一張多視圖幾何中關于幾種變換的總結表：

有問題歡迎交流指正～

此外，對SLAM算法感興趣的同學可以看考我的博客SLAM算法總結——經典SLAM算法框架總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多视图几何总结——等距变换、相似变换、仿射变换和射影变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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