圖像降噪算法——維納濾波

• 圖像降噪算法——維納濾波
• • 1. 基本原理
  • 2. C++代碼實(shí)現(xiàn)
  • 3. 結(jié)論

圖像降噪算法——維納濾波

維納濾波是在頻域中處理圖像的一種算法，是一種非常經(jīng)典的圖像增強(qiáng)算法，不僅可以進(jìn)行圖像降噪，還可以消除由于運(yùn)動(dòng)等原因帶來(lái)的圖像模糊。

1. 基本原理

在圖像拍攝過(guò)程中由于各種原因會(huì)造成圖像退化，圖像退化模型如下：$$g(x,y)=h(x,y)?f(x,y)+\eta (x,y)$$其中，$?$為卷積符號(hào)，$f(x,y)$為輸入圖像，$g(x,y)$為退化圖像，$h(x,y)$為退化函數(shù)，$\eta (x,y)$為加性噪聲，將上式進(jìn)行傅里葉變換有：$$G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)$$根據(jù)傅里葉變換的特性，空間域中的卷積相當(dāng)于頻率域中的乘積。

(1) 如果不考慮退化函數(shù)，圖像退化模型就簡(jiǎn)化為圖像噪聲模型：$$g(x,y)=f(x,y)+\eta (x,y)$$圖像增強(qiáng)問(wèn)題成為單純的圖像去噪問(wèn)題，可以通過(guò)空間域?yàn)V波等眾多方法解決。

(2) 如果不考慮加性噪聲，圖像退化模型就簡(jiǎn)化為：$$g(x,y)=h(x,y)?f(x,y)$$這種問(wèn)題可以通過(guò)逆濾波解決，即通過(guò)傅里葉變化以及陣列除法即可獲得恢復(fù)后的圖像頻譜$\hat{F}(u,v)$：$$\hat{F}(u,v)=\frac{G(u,v)}{H(u,v)}$$那么$H(u,v)$怎么獲得呢？《數(shù)字圖像處理》中的方法有觀察估計(jì)、實(shí)驗(yàn)估計(jì)和建模估計(jì)，例如建模估計(jì)中可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型將退化函數(shù)構(gòu)造為：$$H(u,v)=\frac{T}{\pi (ua+vb)}\sin [\pi (ua+vb)]{\mathrm{e}}^{?\mathrm{j}\pi (ua+vb)}$$

(3) 如果退化函數(shù)和加性噪聲都考慮，空域?yàn)V波器無(wú)法解決圖像退化問(wèn)題，逆濾波效果因?yàn)樵肼暤拇嬖跁?huì)變得非常差，這個(gè)時(shí)候就需要用到維納濾波，（維納濾波的推導(dǎo)寫在結(jié)論中）維納濾波公式如下：$$\hat{F}(u,v)=\left[\frac{1}{H(u,v)}\frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)/S_f(u,v)}\right]G(u,v)$$其中，
$S_{\eta }(u,v)=|N(u,v){|}^2$為噪聲的功率譜，這個(gè)我們可以通過(guò)用戶輸入的方差構(gòu)造一個(gè)噪聲圖像$N(u,v)$并計(jì)算功率譜；
$S_f(u,v)=|F(u,v){|}^2$為輸入圖像的功率譜，這里乍一看會(huì)覺(jué)得有點(diǎn)問(wèn)題，我們?nèi)绻垒斎雸D像還需要濾波干嘛？我們當(dāng)然不知道輸入圖像，因?yàn)檎鎸?shí)圖像的功率譜都是類似的，因此我們使用一個(gè)參考圖像計(jì)算功率譜即可，在下面的例子中就是使用的lena的灰度圖作為參考圖像；
下面的例子中我們還對(duì)退化函數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將退化函數(shù)置為1，因此維納濾波公式簡(jiǎn)化為：$$\hat{F}(u,v)=\left[\frac{S_f(u,v)}{S_f(u,v)+S_{\eta }(u,v)}\right]G(u,v)$$

2. C++代碼實(shí)現(xiàn)

下面基于OpenCV實(shí)現(xiàn)維納濾波

Mat Denoise::WienerFilter(const Mat &src, const Mat &ref, int stddev) {//這些圖片是過(guò)程中會(huì)用到的，pad是原圖像0填充后的圖像，cpx是雙通道頻域圖，mag是頻域幅值圖，dst是濾波后的圖像Mat pad, cpx, dst;//獲取傅里葉變化最佳圖片尺寸，為2的指數(shù)int m = getOptimalDFTSize(src.rows);int n = getOptimalDFTSize(src.cols);//對(duì)原始圖片用0進(jìn)行填充獲得最佳尺寸圖片copyMakeBorder(src, pad, 0, m-src.rows, 0, n-src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));//獲得參考圖片頻譜Mat tmpR(pad.rows, pad.cols, CV_8U);resize(ref, tmpR, tmpR.size());Mat refSpectrum = GetSpectrum(tmpR);//獲得噪聲頻譜Mat tmpN(pad.rows, pad.cols, CV_32F);randn(tmpN, Scalar::all(0), Scalar::all(stddev));Mat noiseSpectrum = GetSpectrum(tmpN);//對(duì)src進(jìn)行傅里葉變換Mat planes[] = {Mat_<float>(pad), Mat::zeros(pad.size(), CV_32F)};merge(planes, 2, cpx);dft(cpx, cpx);split(cpx, planes);//維納濾波因子Mat factor = refSpectrum / (refSpectrum + noiseSpectrum);multiply(planes[0], factor, planes[0]);multiply(planes[1], factor, planes[1]);//重新合并實(shí)部planes[0]和虛部planes[1]merge(planes, 2, cpx);//進(jìn)行反傅里葉變換idft(cpx, dst, DFT_SCALE | DFT_REAL_OUTPUT);dst.convertTo(dst, CV_8UC1);return dst; }Mat Denoise::GetSpectrum(const Mat &src) {Mat dst, cpx;Mat planes[] = {Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(), CV_32F)};merge(planes, 2, cpx);dft(cpx, cpx);split(cpx, planes);magnitude(planes[0], planes[1], dst);//頻譜就是頻域幅度圖的平方multiply(dst, dst, dst);return dst; }

下面是運(yùn)行結(jié)果：
首先是原圖：

添加上高斯噪聲后：

維納濾波的效果：

這個(gè)效果看上去有點(diǎn)神奇…

3. 結(jié)論

從濾波結(jié)果看，和頻域的高斯低通濾波是不同的，從頻域圖上看其實(shí)就是篩掉了不同的高頻信號(hào)

咱學(xué)知識(shí)就要學(xué)明白，這里我們把維納濾波的推導(dǎo)再過(guò)一遍：
維納濾波是采用優(yōu)化的方法推導(dǎo)的的，優(yōu)化的目標(biāo)是是的估計(jì)圖像$\hat{F}(u,v)$和參考圖像$F(u,v)$（或者說(shuō)是輸入圖像）頻譜的均方差最小，即：$$e=E\{|F(u,v)?\hat{F}(u,v){|}^2\}$$將估計(jì)圖像頻譜進(jìn)行替換：$$\begin{array}{rl}e& =E\{|F(u,v)?X(u,v)G(u,v){|}^2\}\\ & =E\{|F(u,v)?X(u,v)[H(u,v)F(u,v)+N(u,v)]{|}^2\}\\ & =E\{|[1?X(u,v)H(u,v)]F(u,v)?X(u,v)N(u,v){|}^2\}\end{array}$$其中，$X(u,v)$就是我們需要估計(jì)的維納濾波系數(shù)，然后對(duì)平方進(jìn)行展開(kāi)$$\begin{array}{rl}e& =[1?X(u,v)H(u,v)][1?X(u,v)H(u,v){]}^{?}\times E\{|F(u,v){|}^2\}\\ & ?[1?X(u,v)H(u,v)]X^{?}(u,v)\times E\left\{F(u,v)N^{?}(u,v)\right\}\\ & ?X(u,v)[1?X(u,v)H(u,v){]}^{?}\times E\left\{F(u,v{)}^{?}N(u,v)\right\}\\ & +X(u,v)X^{?}(u,v)\times E\{|N(u,v){|}^2\}\end{array}$$其中，由于噪聲和信號(hào)是獨(dú)立無(wú)關(guān)的，因此$$E\left\{F(u,v)N(u,v)\right\}=E\left\{F(u,v)N(u,v)\right\}=0$$定義如下功率譜有：$$\begin{array}{l}{S}_f(u,v)=E\{|F(u,v){|}^2\}\\ S_{\eta }(u,v)=E\{|N(u,v){|}^2\}\end{array}$$于是有：$$e=[1?X(u,v)H(u,v)][1?X(u,v)H(u,v){]}^{?}{S}_f(u,v)+X(u,v)X^{?}(u,v)(f)S_{\eta }(u,v)$$然后對(duì)$X(u,v)$求導(dǎo)$$\frac{\mathrm{d}(e)}{\mathrm{d}X(u,v)}=X^{?}(u,v)S_{\eta }(u,v)?X(u,v)[1?X(u,v)H(u,v)){]}^{?}{S}_f(u,v)=0$$求解可獲得維納濾波公式。

有問(wèn)題歡迎交流～

此外，這里我寫一個(gè)各種算法的總結(jié)目錄圖像降噪算法——圖像降噪算法總結(jié)，對(duì)圖像降噪算法感興趣的同學(xué)歡迎參考

與50位技術(shù)專家面對(duì)面20年技術(shù)見(jiàn)證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像降噪算法——维纳滤波的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。