目錄

1. Koch曲線

瑞典數(shù)學(xué)家Helge von Koch，在1904年發(fā)表的“從初等幾何構(gòu)造的一條沒有切線的連續(xù)曲線”的論文中提出Korch曲線。它的描述如下：指定一條線段的長(zhǎng)度\(l\)(可以理解為第0次迭代)

將這條線段三等分，并以中間的線段為底邊構(gòu)造一個(gè)等邊三角形，然后去掉底邊

對(duì)2中生成的曲線的每一條邊重復(fù)2的操作(每操作一次稱為一次迭代)

最終得到的集合圖形長(zhǎng)度為：$$L=l*(\frac{4}{3})^{N}$$，其中的N指的是迭代次數(shù)。

1.2 繪制方法：如果N=0，直接畫出L長(zhǎng)的直線即可

如果N=1(第一次迭代)，畫出長(zhǎng)度為L(zhǎng)/3的線段；畫筆向左轉(zhuǎn)60度再畫長(zhǎng)度為L(zhǎng)/3長(zhǎng)的線段；畫筆向右轉(zhuǎn)120度畫長(zhǎng)度為L(zhǎng)/3長(zhǎng)的線段；畫筆再向左轉(zhuǎn)60度畫出長(zhǎng)度為L(zhǎng)/3的線段

如果n>1，第n次迭代相當(dāng)于：n-1次迭代；畫筆左轉(zhuǎn)60度；n-1次迭代；畫筆右轉(zhuǎn)120度；n-1次迭代；畫筆左轉(zhuǎn)60度；n-1次迭代。

1.3 Python代碼實(shí)現(xiàn)# -*- coding: utf-8 -*-

import turtle

Division = 3.0

DirectionAangle = [('left',60),('right',120),('left',60)]

def call(name):

if name == 'left':

return turtle.left

else:

return turtle.right

def koch(n, length):

if n==0:

turtle.forward(length)

else:

for DA in DirectionAangle:

koch(n-1,length/Division)

call(DA[0])(DA[1])

koch(n-1,length/Division)

koch(n=2, length=100)

turtle.done()

1.4 繪制的圖形

下面分別是n=3, length=300和n=4, length=400生成的Koch曲線

2. Julia集

2.1 繪制方法

在上一篇博文中提到過(guò)，點(diǎn)擊前往設(shè)定初值 p,q, 最大的迭代次數(shù) N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數(shù) K.這里需要注意的是c的模總是小于2。可以證明當(dāng)c的模大于2時(shí)，進(jìn)行迭代必將發(fā)散到無(wú)窮。

設(shè)定區(qū)域的界值 \( M\ge max(2,\sqrt{p^2+q^2}) \)

將區(qū)域\(R=[-M,M]\times[-M,M]\)分成\(a\times b\)的網(wǎng)格，分別以每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)為初值(\(x_0,y_0\))。利用上面替換之后的公式做迭代。如果對(duì)\(n \le N\)所有的都有\(zhòng)({x_n}^2+{y_n}^2\le M^2 \)，則將象素\((i, j)\)置為這一種顏色。如果從某一步 n 開始\({x_n}^2+{y_n}^2\ge M^2 \)，則將象素 \((i, j)\)置為不同顏色。

2.2 Python代碼實(shí)現(xiàn)# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plot

import numpy as np

p=0.45 #初始值c的實(shí)部

q=-0.1428 #初始值c的虛部

N=800 #最大迭代次數(shù)

M=100 #迭代區(qū)域的界值

a=3.0 #繪制圖的橫軸大小

b=3.0 #繪制圖的縱軸大小

step=0.005 #繪制點(diǎn)的步長(zhǎng)

def iterate(z,N,M):

z=z*z+c

for i in xrange(N):

if abs(z)>M:

return i

z=z*z+c

return N

c=p+q*1j

i=np.arange(-a/2.0,a/2.0,step)

j=np.arange(b/2.0,-b/2.0,-step)

I,J=np.meshgrid(i, j)

ufunc=np.frompyfunc(iterate,3,1)

Z=ufunc(I+1j*J,N,M).astype(np.float)

plot.imshow(Z,extent=(-a/2.0,a/2.0,-b/2,b/2.0))

cb = plot.colorbar(orientation='vertical',shrink=1)

cb.set_label('iteration counts')

plot.show()

2.3 繪制的圖形

參數(shù)：p=0.285 q=0.01 N=200 M=100 a=2.0 b=2.0 step=0.005 (左圖)

參數(shù)：p=0.45 q=-0.1428 N=200 M=100 a=2.0 b=2.0 step=0.005 (右圖)

還有其他的初始c值可以繪制出十分漂亮的圖案，例如：

c = -0.70176+-0.3842j c = -0.835+-0.2321j c = -0.8+0.156j c = 0.285

3. Mandelbrot集

數(shù)學(xué)定義： $$f_c(z) = z^2+c$$

Mandelbrot集是\(f_c(z)\)在z=0，關(guān)于復(fù)數(shù)c=x+yi的函數(shù)迭代不發(fā)散序列集合。

繪制Mandelbrot集最簡(jiǎn)單的方法是使用逃逸時(shí)間進(jìn)行繪制。逃逸時(shí)間指的是，在指定范圍M進(jìn)行有限次數(shù)N迭代，而不超出M區(qū)域的次數(shù)。使用不同的顏色繪制不同的迭代次數(shù)。設(shè)置迭代的最多次數(shù)，N

設(shè)置初始化\(z_0\)的值，

設(shè)置逃逸半徑R的值，通常為2

3.1 繪制方法

3.2 Python實(shí)現(xiàn)# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plot

x0=0 #初始值z(mì)0的x0

y0=0 #初始值z(mì)0的y0

zoom=1.0 #放大倍率

N=100 #最大迭代次數(shù)

R=2 #迭代半徑

a=4.0 #繪制圖的橫軸大小

b=3.0 #繪制圖的縱軸大小

step=0.005 #繪制點(diǎn)的步長(zhǎng)

def iterate(c,N,R):

z=c

for i in xrange(N):

if abs(z)>R:

return i

z = z*z+c

return N

x=np.arange(-a/(2.0*zoom)+x0,a/(2.0*zoom)+x0,step)

y=np.arange(b/(2.0*zoom)+y0,-b/(2.0*zoom)+y0,-step)

cx,cy=np.meshgrid(x, y)

c = cx + cy*1j

ufunc=np.frompyfunc(iterate,3,1)

Z=ufunc(c,N,R).astype(np.float)

plot.imshow(Z,extent=(-a/2.0,a/2.0,-b/2,b/2.0))

cb = plot.colorbar(orientation='vertical',shrink=1)

cb.set_label('iteration counts')

plot.show()

3.3 繪制的圖形

圖中是使用參數(shù)：x0=0 y0=0 zoom=1.0 N=100 R=2 a=4.0 b=3.0 step=0.005。生成的圖像。不同的是，它們依次使用的是二次、三次冪的迭代。

最后，還可以使用ImageMagick工具，將生成的圖像制作成一個(gè)動(dòng)態(tài)GIF。convert *.png out.gif

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python分形几何_使用 Python 绘制分形: Koch 曲线、Julia 集、Mandelbrot 集的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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