1

正弦定理

小陳去里約看奧運會，住在賓館A處，青年體育館B處與德奧多羅水上運動中心C處相距2公里，三處位置大致如下圖所示，能否利用數學知識算出AB,AC的距離？

1 正弦定理

2 三角形的元素與解三角形

(1)三角形的元素

把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．

2

答疑

1 對正弦定理的理解

(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．

(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式．

(3)揭示規律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與其對應角的正弦之間的一個關系式，它描述了三角形中邊與角的一種數量關系．

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是實現三角形中邊角關系的轉化．

2 正弦定理的變形公式

3

練習

1 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)正弦定理不適用于直角三角形．( )

(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．( )

(3)在△ABC中，若A>B，則必有sin A>sin B．( )

(4)在△ABC中，若sin A>sin B，則必有A>B.( )

(5)在△ABC中，若A>B，則必有cos A>cos B．( )

4

定理的應用

探究1

一直兩角及一邊，解三角形

探究2

已知兩邊及一邊的對角，求三角形

探究3

判斷三角形的形狀

5

總結歸納

6

深化拓展

余弦定理

1．對余弦定理的四點說明

(1)勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

(2)與正弦定理一樣，余弦定理揭示了三角形的邊角之間的關系，是解三角形的重要工具之一．

(3)余弦定理的三個等式中，每一個都包含四個不同的量，它們是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，代入等式，就可以求出第四個量．

(4)運用余弦定理時，若已知三邊(求角)或已知兩邊及夾角(求第三邊)，則由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的．

2．對余弦定理推論的理解

余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．

例題講練

探究點1　已知兩邊及一角解三角形

方法歸納：

(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法

①先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內角和定理求出第三個角，再用正弦定理求出第三邊，要注意判斷解的情況；

②用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長．

(2)已知兩邊及其夾角解三角形的方法

方法一：首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內角和定理求出其他兩角．

方法二：首先用余弦定理求出第三邊，再用正弦定理和三角形內角和定理求出其他兩角．

[注意]　解三角形時，若已知兩邊和一邊的對角時，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，則用正弦定理方便，若只求邊，用余弦定理方便．　

練習：

　1.在△ABC中，邊a，b的長是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則c＝________．

探究點2 已知三邊(三邊關系)解三角形

方法歸納

已知三角形的三邊解三角形的方法

先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論(或由求得的第一個角利用正弦定理)求出第二個角；最后利用三角形的內角和定理求出第三個角．

[注意]　若已知三角形三邊的比例關系，常根據比例的性質引入k，從而轉化為已知三邊求解．　

練習：

1.(2018·遼源高二檢測)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，則A＝( )

A．90° B．60°

C．120° D．150°

探究點3　判斷三角形的形狀

方法歸納

判斷三角形形狀的思路

(1)轉化為三角形的邊來判斷

①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；

②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；

③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2④按等腰或等邊三角形的定義判斷．

(2)轉化為角的三角函數(值)來判斷

①若cos A＝0，則A＝90°，△ABC為直角三角形；

②若cos A<0，則△ABC為鈍角三角形；

③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，則△ABC為銳角三角形；

④若sin2A＋sin2B＝sin2C，則C＝90°，△ABC為直角三角形；

⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，則A＝B，△ABC為等腰三角形；

⑥若sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝90°，△ABC為等腰三角形或直角三角形．

在具體判斷的過程中，注意靈活地應用正、余弦定理進行邊角的轉化，究竟是角化邊還是邊化角應依具體情況決定．　

章節總結

▍ 來源：綜合網絡

▍ 聲明：如有侵權，請聯系刪除；若需轉載，請注明出處。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三角形一点到三边距离最小_高中数学：利用正弦定理、余弦定理求解三角形基础题...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。