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正弦定理

小陳去里約看奧運(yùn)會，住在賓館A處，青年體育館B處與德奧多羅水上運(yùn)動中心C處相距2公里，三處位置大致如下圖所示，能否利用數(shù)學(xué)知識算出AB,AC的距離？

1 正弦定理

2 三角形的元素與解三角形

(1)三角形的元素

把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．

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答疑

1 對正弦定理的理解

(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．

(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式．

(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化．

2 正弦定理的變形公式

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練習(xí)

1 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)正弦定理不適用于直角三角形．( )

(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．( )

(3)在△ABC中，若A>B，則必有sin A>sin B．( )

(4)在△ABC中，若sin A>sin B，則必有A>B.( )

(5)在△ABC中，若A>B，則必有cos A>cos B．( )

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定理的應(yīng)用

探究1

一直兩角及一邊，解三角形

探究2

已知兩邊及一邊的對角，求三角形

探究3

判斷三角形的形狀

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總結(jié)歸納

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深化拓展

余弦定理

1．對余弦定理的四點說明

(1)勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

(2)與正弦定理一樣，余弦定理揭示了三角形的邊角之間的關(guān)系，是解三角形的重要工具之一．

(3)余弦定理的三個等式中，每一個都包含四個不同的量，它們是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，代入等式，就可以求出第四個量．

(4)運(yùn)用余弦定理時，若已知三邊(求角)或已知兩邊及夾角(求第三邊)，則由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的．

2．對余弦定理推論的理解

余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．

例題講練

探究點1　已知兩邊及一角解三角形

方法歸納：

(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法

①先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角，再用正弦定理求出第三邊，要注意判斷解的情況；

②用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長．

(2)已知兩邊及其夾角解三角形的方法

方法一：首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角．

方法二：首先用余弦定理求出第三邊，再用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角．

[注意]　解三角形時，若已知兩邊和一邊的對角時，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，則用正弦定理方便，若只求邊，用余弦定理方便．　

練習(xí)：

　1.在△ABC中，邊a，b的長是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則c＝________．

探究點2 已知三邊(三邊關(guān)系)解三角形

方法歸納

已知三角形的三邊解三角形的方法

先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論(或由求得的第一個角利用正弦定理)求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角．

[注意]　若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．　

練習(xí)：

1.(2018·遼源高二檢測)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，則A＝( )

A．90° B．60°

C．120° D．150°

探究點3　判斷三角形的形狀

方法歸納

判斷三角形形狀的思路

(1)轉(zhuǎn)化為三角形的邊來判斷

①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；

②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；

③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2④按等腰或等邊三角形的定義判斷．

(2)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)(值)來判斷

①若cos A＝0，則A＝90°，△ABC為直角三角形；

②若cos A<0，則△ABC為鈍角三角形；

③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，則△ABC為銳角三角形；

④若sin2A＋sin2B＝sin2C，則C＝90°，△ABC為直角三角形；

⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，則A＝B，△ABC為等腰三角形；

⑥若sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝90°，△ABC為等腰三角形或直角三角形．

在具體判斷的過程中，注意靈活地應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化，究竟是角化邊還是邊化角應(yīng)依具體情況決定．　

章節(jié)總結(jié)

▍ 來源：綜合網(wǎng)絡(luò)

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總結(jié)

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