2020.2.17更新，將模板改為c++版，以及增加了對循環(huán)版快速冪的理解

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一、問題引入

求 $a^{n}modp$ 的結(jié)果

分析

• 思路：看到這樣的題目，我們最容易想到就是直接寫一個(gè)n次的循環(huán)，每次循環(huán)乘上一個(gè)a，最后再對結(jié)果mod p就能得到結(jié)果。
• 改錯(cuò)：為了防止數(shù)據(jù)溢出，我們利用取模的性質(zhì)$(a?b)modp=((amodp)?(bmodp))modp$，循環(huán)中每次乘a都mod p一次。
• 缺陷：這種暴力法的時(shí)間復(fù)雜度是 $O(b)$，如果b的值比較大的話，就很難在題目規(guī)定的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出結(jié)果。

二、快速冪

其實(shí)可以利用分治思想對暴力法進(jìn)行優(yōu)化，我們可以這樣想:
$$a^n=\{\begin{array}{ll}{a}^{n/2}?a^{n/2},& \text{if?n?is?even}\\ a^{n/2}?a^{n/2}?a,& \text{if?n?is?odd}\end{array}$$
（注意：even是偶數(shù)，odd是奇數(shù)，b/2的結(jié)果向下取整）
這樣劃分，我們只要求 $a^{n/2}$ 的值就可以的通過一次乘法運(yùn)算求出 $a^n$ 的值。而 $a^{n/2}$ 又可以進(jìn)一步分解為 $a^{n/4}$、$a^{n/8}$……直到 $a^1$，這就是快速冪，這樣的操作的時(shí)間復(fù)雜度僅為 $O(logn)$ 。

基于對以上思想的理解，我們可以得到快速冪的遞歸版代碼：

ll quickPow(ll a, ll n, ll p) {if (!n) return 1;if (n & 1) {ll t = quickPow(a, n / 2, p);t = (t * t) % p;return (t * a) % p;} else {ll t = quickPow(a, n / 2, p);return (t * t) % p;} }

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對于快速冪，其實(shí)還有另一種思想，比如我們要求 $a^n$：

• 首先，把指數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制表示，初始化存儲結(jié)果的變量 $ans=1$
• 將其二進(jìn)制表示各個(gè)數(shù)位從右到左，以 $0$ 到 $k?1$ 編號，其中 $k$ 為該數(shù)的二進(jìn)制表示共有多少位
• 從右到左依次遍歷各數(shù)位，當(dāng)發(fā)現(xiàn)編號為 $i$ 的數(shù)位為 $1$ 時(shí)，計(jì)算 $a^{2^i}$ 的值，并乘進(jìn)結(jié)果 $ans$ 中
• 當(dāng)完成所有數(shù)位的遍歷后，得到的 $ans$ 即為答案

有可能看了上面的算法步驟描述有點(diǎn)懵，我們接著看下面這個(gè)例子：

對于這種理解，就有了如下的循環(huán)版的快速冪代碼：

ll quickPow(ll a, ll n, ll p) {ll ans = 1;while (n) { //循環(huán)條件相當(dāng)于n != 0if (n & 1) //當(dāng)二進(jìn)制位為1時(shí)ans = (ans * a) % p; a = (a * a) % p; //持續(xù)累計(jì)a^{2^i}的值n >>= 1; //右移1位，準(zhǔn)備在下個(gè)循環(huán)中檢查下個(gè)位數(shù)是否1}return ans; }

三、應(yīng)用

1.快速冪用于求解規(guī)模較大的求冪問題
例如：求 $a^{n}modp$ .
2.結(jié)合矩陣乘法求解遞推式求值問題
例如：Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)
我們知道：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(n-1)=F(n-1)+0*F(n-2)
轉(zhuǎn)化成矩陣運(yùn)算可得

$$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)$$
而右邊的21階矩陣又可以進(jìn)一步分解為
$$\left(\begin{array}{c}F(n?1)\\ F(n?2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)?\left(\begin{array}{c}F(n?2)\\ F(n?3)\end{array}\right)$$
按照這樣一直分解下去直到右邊的21階矩陣F(2),F(1),即
$$\left(\begin{array}{c}F(n)\\ F(n?1)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{n?2}?\left(\begin{array}{c}F(2)\\ F(1)\end{array}\right)$$
這時(shí)利用矩陣版的快速冪求解其中的矩陣冪乘，就可以在相對較小的時(shí)間復(fù)雜度下得出Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)的值。

四、實(shí)戰(zhàn)演練

洛谷 P1226 【模板】快速冪||取余運(yùn)算

這是來自洛谷一道比較簡單的模板題，主要是用于檢測快速冪的模板代碼

題目描述

輸入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k為長整型數(shù)。

輸入格式：

三個(gè)整數(shù)b,p,k.

輸出格式：

輸出“b^p mod k=s”
s為運(yùn)算結(jié)果

輸入樣例#1：

2 10 9

輸出樣例#1：

2^10 mod 9=7

代碼如下

import java.util.*; public class P1226 {static long a,b,n;static long quickPow(long a,long b, long n) {long s=1;while(b!=0) {if(b%2==1) {s=(s*a)%n;}a=(a*a)%n;b/=2;}return s;} // static long quickPow(long a,long b, long n) { // if(b==0) // return 1; // if(b%2==1) { // long t=quickPow(a, b/2, n); // t=(t*t)%n; // t=(t*a)%n; // return t; // }else { // long t=quickPow(a, b/2, n); // return (t*t)%n; // } // }public static void main(String[] args) {Scanner cin=new Scanner(System.in);a=cin.nextLong();b=cin.nextLong();n=cin.nextLong();System.out.println(a+"^"+b+" mod "+n+"="+quickPow(a, b, n)%n);} }

//相比較之下還是循環(huán)版的運(yùn)行效率比較高

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论基础之快速幂（详细教程）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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