題目來源：?？途W(wǎng)-劍指Offer專題
題目地址：矩形覆蓋

題目描述

我們可以用$2?1$的小矩形橫著或者豎著去覆蓋更大的矩形。請問用n個$2?1$的小矩形無重疊地覆蓋一個$2?n$的大矩形，總共有多少種方法？

比如n=3時，$2?3$的矩形塊有3種覆蓋方法：

題目解析

其實這類題目，如果實在不知道怎么下手，都不妨先考慮枚舉，將前面小的數(shù)先枚舉出來，然后再猜測規(guī)律是什么。一般可以考慮的式子有 $2^{n?1}$ 、斐波那契數(shù)列、n相關(guān)的多項式、組合數(shù)、卡特蘭數(shù)、歐拉函數(shù)……

這看這道題，我們先把 $n$ 比較小的情況先枚舉出來，如下表所示：

n123456…

result	1	2	3	5	8	13	…

看，不騙你們吧！這不是斐波那契數(shù)列嗎？我不是坑你們，只是在實在無從下手的時候給你們提供一種思路，別動不動就寫什么搜索去枚舉這些情況……

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下面是正解時間：

參考了討論區(qū)中Follow大佬的講解思路，假設(shè)我們有一個 $2?n$ 的大矩形，當(dāng) $n=i$時的方法有 $f(i)$ 種，我們先考慮第一個 $2?1$ 小矩形的擺法。有下面兩種情況：

• 情況一：如下圖豎著擺放，那么剩下的矩形就形成了一個 $2?(n?1)$ 的大矩形，所以這種情況下的覆蓋方法有 $f(n?1)$ 種。

*

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• 情況二：如下圖橫著擺放，為了把它下方的空間覆蓋，第二個 $2?1$ 小矩形也必須橫著擺在它的下方，，那么剩下的矩形就形成了一個 $2?(n?2)$ 的大矩形，所以這種情況下的覆蓋方法有 $f(n?2)$ 種。

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于是，我們就可以知道 $f(n)=f(n?1)+f(n?2)$，再結(jié)合 $n?2\le 0$ 的情況，我們就可以得到以下的遞推式啦~

$$f(n)=?\begin{array}{ll}1& ,\text{n=1}\\ 2& ,\text{n=2}\\ f(n?1)+f(n?2)& ,\text{n>2}\end{array}$$

這個遞推式看爛了，這里就簡單寫常用的兩種實現(xiàn)方式，詳情可以參考上篇博客解法：斐波那契數(shù)列（四種解法）。

方法一：
面試別寫型遞推版實現(xiàn)，時間復(fù)雜度 $O(2^n)$。

public class Solution {public int RectCover(int n) {if (n < 3) {return n;}return RectCover(n - 1) + RectCover(n - 2);} }

方法二：
面試推薦型，自底向上型循環(huán)求解，時間復(fù)雜度為 $O(n)$。

public class Solution {public int RectCover(int n) {if (n == 0) return 0;int a = 1, b = 1;for (int i = 1; i < n; i++) {a = a + b;b = a - b;}return a;} }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的剑指Offer #10 矩形覆盖（问题分析）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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