概述

對數組進行全排列是一個比較常見問題，如果是一個比較喜歡考算法的公司（貌似一些大公司都比較喜歡考算法），那么估計就會考察應聘者這個全排列的問題了（就算不讓你編寫完整代碼，也會讓你描述大致的思路）。這個問題也難也難，說易也易，下面我就來對這個問題進行一個比較全面的解析吧。如有遺漏，還望指正。

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版權說明

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本文作者：Q-WHai
發表日期： 2016年3月27日
本文鏈接：https://qwhai.blog.csdn.net/article/details/50986990
來源：CSDN
更多內容：分類 >> 算法與數學

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描述

對于一個給定的序列 a = [a1, a2, a3, … , an]，請設計一個算法，用于輸出這個序列的全部排列方式。
例如：a = [1, 2, 3]
輸出

[1, 2, 3] [1, 3, 2] [2, 1, 3] [2, 3, 1] [3, 2, 1] [3, 1, 2]

如果要按從小到大輸出呢？算法又要怎么寫？

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基于遞歸的實現

思路分析

我們知道全排列的含義就是一個序列所有的排序可能性，那么我們現在做這樣的一個假設，假設給定的一些序列中第一位都不相同，那么就可以認定說這些序列一定不是同一個序列，這是一個很顯然的問題。有了上面的這一條結論，我們就可以同理得到如果在第一位相同，可是第二位不同，那么在這些序列中也一定都不是同一個序列，這是由上一條結論可以獲得的。
那么，這個問題可以這樣來看。我們獲得了在第一個位置上的所有情況之后，抽去序列T中的第一個位置，那么對于剩下的序列可以看成是一個全新的序列T1，序列T1可以認為是與之前的序列毫無關聯了。同樣的，我們可以對這個T1進行與T相同的操作，直到T中只一個元素為止。這樣我們就獲得了所有的可能性。所以很顯然，這是一個遞歸算法。
例如下面這幅圖，就是第1個元素與其后面的所有其他元素進行交換的示意圖。

如果我們從中抽出第i個元素，將剩下的其余元素進行上圖交換操作，將是如下示意圖。

所有元素均無相同的情況

基于上面的分析，我們知道這個可以采用遞歸式實現，實現代碼如下：

private static void core(int[] array) {int length = array.length;fullArray(array, 0, length - 1);}private static void fullArray(int[] array, int cursor, int end) {if (cursor == end) {System.out.println(Arrays.toString(array));} else {for (int i = cursor; i <= end; i++) {ArrayUtils.swap(array, cursor, i);fullArray(array, cursor + 1, end);}}}

運行結果

[1, 2, 3] [1, 3, 2] [3, 1, 2] [3, 2, 1] [1, 2, 3] [1, 3, 2]

這個答案就有一些讓人匪夷所思了，為什么會有幾組是重復的？為什么第一位里面沒有 2？
理論上，上面的代碼沒有問題，因為當我們循環遍歷序列中每一位時，都有繼續進行后面序列的遞歸操作。core()方法當然沒什么問題，問題是出在fullArray()方法上了。很容易鎖定在了那個for循環里。我們來仔細推敲一下循環體里的代碼，當我們對序列進行交換之后，就將交換后的序列除去第一個元素放入到下一次遞歸中去了，遞歸完成了再進行下一次循環。這是某一次循環程序所做的工作，這里有一個問題，那就是在進入到下一次循環時，序列是被改變了?？墒?#xff0c;如果我們要假定第一位的所有可能性的話，那么，就必須是在建立在這些序列的初始狀態一致的情況下（感興趣的你可以想想這是為什么）。
好了，這樣一來問題找到了，我們需要保證序列進入下一次循環時狀態的一致性。而保證的方式就是對序列進行還原操作。我們修改fullArray()如下：

private static void fullArray(int[] array, int cursor, int end) {if (cursor == end) {System.out.println(Arrays.toString(array));} else {for (int i = cursor; i <= end; i++) {ArrayUtils.swap(array, cursor, i);fullArray(array, cursor + 1, end);ArrayUtils.swap(array, cursor, i); // 用于對之前交換過的數據進行還原}}}

修改后的運行結果

[1, 2, 3] [1, 3, 2] [2, 1, 3] [2, 3, 1] [3, 2, 1] [3, 1, 2]

存在相同元素的情況

上面的程序乍一看沒有任何問題了。可是，如果我們對序列進行一下修改 array = {1, 2, 2}.我們看看運行的結果會怎么樣。

[1, 2, 2] [1, 2, 2] [2, 1, 2] [2, 2, 1] [2, 2, 1] [2, 1, 2]

這里出現了好多的重復。重復的原因當然是因為我們列舉了所有位置上的可能性，而沒有太多地關注其真實的數值。
現在，我們這樣來思考一下，如果有一個序列T = {a1, a2, a3, …, ai, … , aj, … , an}。其中，a[i] = a[j]。那么是不是就可以說，在a[i]上，只要進行一次交換就可以了，a[j]可以直接忽略不計了。好了，基于這樣一個思路，我們對程序進行一些改進。我們每一次交換遞歸之前對元素進行檢查，如果這個元素在后面還存在數值相同的元素，那么我們就可以跳過進行下一次循環遞歸（當然你也可以反著來檢查某個元素之前是不是相同的元素）。
基于這個思路，不難寫出改進的代碼。如下：

private static void core(int[] array) {int length = array.length;fullArray(array, 0, length - 1);}private static boolean swapAccepted(int[] array, int start, int end) {for (int i = start; i < end; i++) {if (array[i] == array[end]) {return false;}}return true;}private static void fullArray(int[] array, int cursor, int end) {if (cursor == end) {System.out.println(Arrays.toString(array));} else {for (int i = cursor; i <= end; i++) {if (!swapAccepted(array, cursor, i)) {continue;}ArrayUtils.swap(array, cursor, i);fullArray(array, cursor + 1, end);ArrayUtils.swap(array, cursor, i); // 用于對之前交換過的數據進行還原}}}

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基于非遞歸的實現

思路分析

由于非遞歸的方法是基于對元素大小關系進行比較而實現的，所以這里暫時不考慮存在相同數據的情況。
在沒有相同元素的情況下，任何不同順序的序列都不可能相同。不同的序列就一定會有大有小。也就是說，我們只要對序列按照一定的大小關系，找到某一個序列的下一個序列。那從最小的一個序列找起，直到找到最大的序列為止，那么就算找到了所有的元素了。
好了，現在整體思路是清晰了。可是，要怎么找到這里說的下一個序列呢？這個下一個序列有什么性質呢？
T[i]下一個序列T[i+1]是在所有序列中比T[i]大，且相鄰的序列。關于怎么找到這個元素，我們還是從一個例子來入手吧。
現在假設序列T[i] = {6, 4, 2, 8, 3, 1}，那么我們可以通過如下兩步找到它的下一個序列。

看完上面的兩個步驟，不知道大家有沒有理解。如果不理解，那么不理解的點可能就在于替換點和被替點的尋找，以及之后為什么又要進行反轉上。我們一個一個地解決問題吧。

• 替換點和被替換點的尋找。替換點是從整個序列最后一個位置開始，找到一個連續的上升的兩個元素。前一個元素的index就是替換點。再從替換點開始，向后搜尋找到一個只比替換點元素大的被替換點。（如果這里你不是很理解，可以結合圖形多思考思考。）
• 替換點后面子序列的反轉。在上一步中，可以看到替換之后的子序列（{8, 2, 1}）是一個遞減的序列，而替換點又從小元素換成 了大元素，那么與之前序列緊相鄰的序列必定是{8, 2, 1}的反序列，即{1, 2, 8}。
  這樣，思路已經完全梳理完了，現在就是對其的實現了。只是為了防止給定的序列不是最小的，那就需要對其進行按從小到大進行排序。

邏輯實現

public class DemoFullArray2 {public static void main(String[] args) {int[] array = {2, 3, 1, 4};core(array);}private static void core(int[] array) {// 先排序SortUtils sortUtils = new SortUtils(new QKSort()); sortUtils.sort(array);System.out.println(Arrays.toString(array)); // 最初始的序列do {nextArray(array);System.out.println(Arrays.toString(array));} while (!isLast(array));}private static int[] nextArray(int[] array) {int length = array.length;// 尋找替換點int cursor = 0;for (int i = length - 1; i >= 1; i--) {// 找到第一個遞增的元素對if (array[i - 1] < array[i]) {cursor = i - 1; // 找到替換點break;}}// 尋找在替換點后面的次小元素int biggerCursor = cursor + 1;for (int i = cursor + 1; i < length; i++) {if (array[cursor] < array[i] && array[i] < array[biggerCursor]) {biggerCursor = i;}}// 交換ArrayUtils.swap(array, cursor, biggerCursor);// 對替換點之后的序列進行反轉reverse(array, cursor);return array;}private static void reverse(int[] array, int cursor) {int end = array.length - 1;for (int i = cursor + 1; i <= end; i++, end--) {ArrayUtils.swap(array, i, end);}}private static boolean isLast(int[] array) {int length = array.length;for (int i = 1; i < length; i++) {if (array[i - 1] < array[i]) {return false;}}return true;} }

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Ref

• http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7370155

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征集

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https://www.processon.com/i/56205c2ee4b0f6ed10838a6d

總結

以上是生活随笔為你收集整理的全排列算法的全面解析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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