前言

大家好，我是bigsai。最近輕敵了一個高頻問題，分享給大家。

最近面試時候遇到一個非常有意思的hard題，面試官沒讓寫代碼讓說思路，但放在正常應屆生招聘那可能就要手撕了，在劍指offer的第41題和力扣【數據流中的中位數】。

題目描述是這樣的：

中位數是有序列表中間的數。如果列表長度是偶數，中位數則是中間兩個數的平均值。

例如，

[2,3,4] 的中位數是 3

[2,3] 的中位數是 (2 + 3) / 2 = 2.5

設計一個支持以下兩種操作的數據結構：

void addNum(int num) - 從數據流中添加一個整數到數據結構中。
double findMedian() - 返回目前所有元素的中位數。

其實問題也很簡單，也就是一組數據，找出它的中位數，然后有所不同的是這組數據可能會新增一些其他數據，也就是要我們自己維護這么一個數據結構去盡量高效的完成它。

我打開這題力扣上的額描述，它好像就在誘惑我，告訴我什么！

然后我就以為真實的數據就在這個范圍，然后一頓操作猛如虎，一提交直接GG。不過這個問題是個非常好的問題，等到后面講，仔細先看看！

好了不多說了，我們進入正題，看看這個經典問題到底如何分析。

小白級別方法(無腦排序)

這個問題的解決老少皆宜，小白也有小白的方法，題不在難，能過就行(只對小白有效哇)。

一組數據存儲，我用數組、List都可以，而中位數，其實就是中間一個(偶數兩個均值)數，這個也好辦啊，排序啊！

一個ArrayList()海納百川(不定長數組可以存儲數據)，一行Arrays.sort()走天下。用編程語言中已經存在的集合和API可以輕松實現！

分析一下這個算法的時間復雜度，每次插入時候需要排序 nlogn，查詢時間近O(1);次數多的話時間復雜度還是蠻高的。

具體代碼為：

/** initialize your data structure here. */ public MedianFinder() {}List<Integer>list=new ArrayList<>(); public void addNum(int num) {list.add(num);list.sort(null); } public double findMedian() {if(list.size()%2==1)return list.get(list.size()/2);else {return (double) (list.get((list.size()-1)/2)+list.get(list.size()/2))/2;} }

一看結果，2000+ms，這也是一種極限了，這種方法僅限于小白，只為求過。

大白級別的方法(插入排序)

大白比小白稍微強一點，比較它大一點嘛，懂得多一點。

大白看到：**這個序列剛開始沒有！**然后一點一點在原有的基礎上增加長度，如果每次都打亂排序那代價有點高！所以能不能復用上次已經排好序的結果？

這不就插入排序嘛！

每次新來元素相當于插入排序的最后一步使他有序，然后在插入……

這個流程每次插入的時候由兩個部分組成，查找和移動，其中查找花費O(n),插入也是O(n)。時間復雜度依然是O(n)。

可以維護常數表示數據總個數，查找中位數時候可以直接根據數量查找，時間復雜度為O(1).這樣的時間復雜度在插入上優化為O(n)相比O(nlogn)有很大的提升。

但是聰明的大白還能發現一些閃光點，數組前面有序的，只是插入最后一個元素需要鎖定在有序順序結構中的位置，線性一個個查找太耗時了哇！這明顯就是一個二分應用的場景么！可以使用二分法找到插入的位置，然后插入。

二分+插入的時間復雜度是多少呢？

記住，不是O(logn),二分查找每一次的時間復雜度確實是O(logn)，但插入操作的時間復雜度依舊是O(n),總的時間復雜度取最高量級 O(logn)+O(n)=O(n)。

所以這里以后如果遇到某個面試官問你：插入排序使用二分查找優化時間復雜度是多少？你一定要堅定的回答：是O(n2),從單詞操作來看，雖然查詢變為O(logn)但是插入依舊O(n)，所以n個數時間復雜度依舊為O(n2)。

好了既然解釋清楚,一頓操作猛如虎，直接上代碼：

class MedianFinder {/** initialize your data structure here. */public MedianFinder() {}int arr[]=new int[50000];int count=0;public void addNum(int num) {int low=0,high=count-1;while (low <= high) {int mid = (low + high) / 2;int midVal = arr[mid];if (midVal < num)low = mid + 1;else if (midVal > num)high = mid-1 ;else low++;}for(int i=count-1;i>=low;i--){arr[i+1]=arr[i];}arr[low]=num;count++;}public double findMedian() {if(count%2==1)return arr[count/2];else return (double) (arr[count/2-1]+arr[count/2])/2;} }

提交之后，200+ms，比起前面小白的無腦排序優化了很多，但只擊敗了10%用戶，說明方法還是不夠好，還是很白。

大佬的解法(雙堆/優先隊列)

這個問題的話其實也能想出來，但是確實除了這個問題沒見到兩個隊這么玩的，也算是打開眼界一回。

在前面，我們講過堆排序 和優先隊列的原理 ,里面詳細的講解了 堆這種數據結構，我們簡單回顧一下堆：

堆是一種完全二叉樹(即最后一層從左向右存在節點連續)，因為是完全二叉樹我們經常用數組存儲，可以通過二叉樹下標轉換很好的鎖定位置進行交換。

堆分為大根堆和小根堆：

如果所有節點大于孩子節點值，那么這個堆叫做大根堆，堆的最大值在根節點。

如果所有節點小于孩子節點值，那么這個堆叫做小根堆，堆的最小值在根節點。

了解完這些基本解決這題就夠了，這里不需要知道堆、優先隊列的具體實現。但是堆和優先隊列，怎么應用到這個中位數查找呢？

這個就很巧妙了，我們將數據等半到兩個堆中，其中一個是小根堆，一個是大根堆，小根堆存最大的一半數據，大的中最小的在堆頂;大根堆存最小的一半數據，小的中最大的在堆頂，中位數就只可能在兩個堆頂部分產生啦！

但是在具體實現過程中，也有很多需要注意的地方，再添加時候要先判斷和其中一個堆頂比較大小，應該加到哪一個堆(優先隊列)中，但是添加之后可能數值一直遞增很大或者數值一直遞減很小可能造成兩個堆元素數量不平衡，那么就要將其中少的加到多的中。

這里我在實現的時候約束小根堆的元素個數等于大根堆個數(偶數)或者等于大根堆個數加一(奇數)，在奇數情況就直接取小根堆頂返回即可。因為Java已經實現優先隊列，你不需要詳細實現其中細節(大佬可以試試參考以前我寫的優先隊列實現)。

分析這個時間復雜度，每個堆插入、刪除的時間復雜度級別是O(log n/2)，即使如果面臨元素平衡可能多操作兩次，但是時間復雜度還是O(logn)級別。比起O(n)快了不少，數據量越大體現越明顯。

具體代碼為：

class MedianFinder {/** initialize your data structure here. */public MedianFinder() {}Queue<Integer>q1=new PriorityQueue<>();//小根堆 放大的數據//大根堆Queue<Integer>q2=new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2-o1;}});public void addNum(int num) {if(q1.isEmpty())q1.add(num);else if(num>q1.peek()){//插入到小根堆q1.add(num);if (q1.size()>q2.size()+1){q2.add(q1.poll());}}else{//插入到大根堆q2.add(num);if (q2.size()>q1.size()){q1.add(q2.poll());}}}public double findMedian() {if(q1.size()==q2.size())return (double)(q1.peek()+q2.peek())/2;else return q1.peek();} }

執行區間75ms，比起上一個大白又好很多，這個雙堆，真的太妙了！我也是第一次見。

提升

對于這個問題，還有一些妖魔鬼怪用二叉搜索樹來做，理論上也是可行的，插入效率不一定很穩定，查詢效率比較低(二叉樹的中序排序)。

但是文初提到的場景問題還是要仔細思考一下，面試場景很可能會問到：

1.如果數據流中所有整數都在 0 到 100 范圍內，你將如何優化你的算法？

2.如果數據流中 99% 的整數都在 0 到 100 范圍內，你將如何優化你的算法？

對于第一個問題，應該用什么方法優化呢？

如果還是采用傳統的雙堆，如果數據量非常大的情況下，效率肯定還是有優化空間，當數據比較集中分布的時候，肯定要考慮計數排序啊！

如果數據分布在0-100之間，可以直接開一個101大小的數組，遇到一個數就將其對應位置值加一，不光0-100 可以這樣，在某個范圍內都可以通過移動表示。

然后你找到中位數，只需要枚舉疊加找到中間位置的數啦。

不過你可以再進行優化，將這個計數排序修改一下，用數組值表示小于當前位置值的個數。這樣這個數組值是連續遞增的，查找的時候還可以使用二分優化。

不過具體實現上，可能還有一些你需要考慮的，分析算法復雜度，每次插入操作，對應小標以及之后值都要加一，所以操作次數不超過50，而查詢操作使用二分法也不超過10次，所以在數據比較集中 數據個數很多有大量重復情況，使用計數排序是非常好的。

另外，如果99%在0-100范圍內也很容易哇，就是在前后邊緣特意設置0和102，超過100的放到102號，小于0的放到0位置，剩下每次來x放x+1位置，因為中位數肯定出現在0-100所以這個依舊可行！

本文收藏再開源數據結構與算法倉庫中：

https://github.com/javasmall/bigsai-algorithm

關于作者

bigsai,在讀研一，手握騰訊、字節實習offer，藍橋杯國一選手，專注于數據結構與算法、Java領域的知識分享，喜歡用圖將復雜內容簡單化，歡迎關注同名公眾號【bigsai】，堅持輸出干貨，如果有學習、實習、考研、選擇等問題歡迎交流！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据流中的中位数，我轻敌了的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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