前言

大家好，我是bigsai，好久不見甚是想念。

昨晚有個同學參加了阿里的筆試題，筆試完后同學說這次筆試感覺難，跟我說了其中一道題，我看了感覺還是挺有質量的，看著這個難度都是第二題，總共三題感覺還是有難度的(瑟瑟發抖)，想著還是和大家分享一下。

描述

一個正m邊形，他想知道多邊形中等腰銳角三角形的數量。(三角形的頂點要在多邊形的頂點上)
不同的三角形的定義:兩個三角形，只要有一個點不在同一個位置上就算做不同的三角形。

數據范圍3-10^7

分析

昨天看到這個問題，覺得還是比較新穎，也有很多細節，但是剛拿到這個問題自己懵逼的畫了好久也才想出來，這里給大家share一下。

瞎折騰

問題的描述很簡單，邊為n的正多邊形有多少等腰銳角三角形。

遇到這種問題我們該怎么分析呢？當然是先畫幾個案例分析一下。

這么一看，你可能覺得好像沒啥規律哇。

你可能對奇數的有點眉目:奇數的每個邊直直的就是對應一個點，那么有多少條邊就有多少個等腰銳角三角形？

但是這個顯然是錯誤的，有可能以不同的頂點作為等腰銳角三角形它剛好是個等邊三角形，這樣就會出現重復，然后還有的底邊可能并不是恰好是多邊形的一個邊，而是多邊形多個邊組成底邊(參考上圖的正6邊型)。

并且從這來看奇數邊和偶數邊還是有點區別的：放正來看，奇數的是點對邊，而偶數的是點對點，結構上有些區別，那么有可能奇偶在結果上是有點區別的。

上面都是一個懵懵懂懂的狀態，咱們整理一下有用的信息：

• 正多邊形，多少邊就是多少個頂點

• 正多邊形，有軸對稱的特性，等腰銳角三角形，也有軸對稱的特性。

• 等腰銳角三角形，腰有兩個，而底邊有一個，要么從底邊考慮，要么從頂點考慮，這里底邊如上面的正6邊型甚至更多邊型顯然不容易考慮，但是各個頂點都是多邊形的頂點，所以肯定從頂點考慮。算出一個頂點為等腰銳角頂角的所有三角形乘以頂點數量(如正五邊形)然后減去重復(如正3、正6邊形)的就是總結果了。

• 奇數偶數分開討論。

偶數情況

我們先用偶數的情況分析，先不考慮重復情況(考慮太多腦子混淆)，將 圖形擺一下成這樣：

因為為正多邊形，所以也就相當于各個頂點在圓上，這樣更容易分析是不是銳角，這樣的分析每個點，就很容易看出每個頂點對應多少個銳角了，正6、正8每個頂點都對應一個銳角，其實有的人可能已經看出規律了，就是在直角下方的線都能組成銳角。

為了更清晰的觀察，看下面這個圖更清晰：

其實就是計算直角下面的藍色線的數量，這個直觀一點是所有橫線數量的一半(向下取整)，每個橫線由兩個點組成，我們計算一下：

總共n個點，去掉兩個頂點和最底下單個點，n-2個點組成(n-2)/2的線。其中直角下面的占一半就是[(n-2)/2]/2=(n-2)/4個,然后乘以頂點數量n，那么在偶數情況不考慮重復所有等腰銳角三角形數量為：

total=n*((n-2)/4))

奇數情況

回了偶數分析，奇數也很簡單，奇數頂點不變，底邊固定，也就是找能夠組成銳角三角形的邊數。

對于橫線數量，如果是偶數個沒疑問下面是銳角(上面多個頂點所以角度比直角小)，而奇數個中間那條線同樣也是銳角(如果去掉頂點才在中央),所以這種情況是橫線數量的一半(向上取整)，我們計算一下：

總計n個點，一個頂點，n-1個點組成線。那么有(n-1)/2個線，其中組成銳角三角形的一半向上取整那就是(n-1)/2+1,然后乘以頂點數量n，那么在奇數情況不考慮重復所有等腰銳角三角形數量為：

total=n*(((n-1)/2+1)/2))

重復三角形

上面考慮了不重復的三角形的情況，那么重復的三角形該怎么考慮了，上面看到正三角形、正6邊型都遇到等邊三角形而導致重復計算。

而正5、正7好像沒有重復的等邊三角形。

我們認真分析一下：等腰銳角三角形三個頂點都在正多邊形的邊上，其實也在一個圓上，如果構成等邊三角形，說明這三個頂點能夠將空間均分分開(也就是頂點、圓可以均勻分成三份)。那么頂點數量 n必須是三的倍數才可以啊！

頂點數量n是3的倍數，那么具體重復了多少呢？

就是看這種等邊三角形每個作為頂點，本來應該有n個，但是每種情況出現了三次，所以只考慮其中1/3作為頂點的等邊三角形才不重復！所以我們要總次數去掉n的(2/3)。

那么總次數：

total-=(n/3)*2;

具體代碼

這里代碼有個小坑，n是10^7,那么這個數量級會越界int范圍，需要用long，但是輸入有的人用int計算這么樣代碼：

public?static?void?main(String[]?args)?{Scanner?sc=new?Scanner(System.in);int?n=sc.nextInt();long?total;if(n%2==0)total=n*((n-2)/4);elsetotal=n*(((n-1)/2+1)/2);if(n%3==0){total-=(n/3)*2;}System.out.println(total); }

但是還是錯了，有的人還不知道為啥，主要的原因是下面這兩句越界了：

total=n*((n-2)/4); total=n*(((n-1)/2+1)/2);

有人說我已經total設成total設成long為啥還是錯的，因為賦值運算符是先計算右側n*((n-2)/4)此時相當于這么一個流程:

int?temp=n*((n-2)/4); long?total=temp;

因為計算的數值范圍都是int，所以最后結果也是int已經越界，然后將越界的這個int結果賦值給long范圍的total。

和這個很類似的還有：

double?a=3/2;System.out.println(a);

會輸出1.0而不是1.5，如果想要正確計算那么要提前將計算的值轉成double計算：

double?a=(double)?3/2;

同樣這個問題正確的代碼為：

public?static?void?main(String[]?args)?{Scanner?sc=new?Scanner(System.in);int?n=sc.nextInt();long?total;if(n%2==0)total=(long)n*((n-2)/4);elsetotal=(long)n*?(((n-1)/2+1)/2);if(n%3==0){total-=(n/3)*2;}System.out.println(total); }

總結

這種數學題、或者找規律的題還是偶爾可能碰到，多會一題多長個經驗！當前還是以積累為主。

大家一起加油，有需要的也歡迎一起打卡力扣。

我是bigsai，肝了一本數據結構與算法pdf和一本動態規劃pdf

歡迎添加?「bigsai66」，備注[pdf]領取

原創不易，希望路過彥祖仙女點個贊、再看

總結

以上是生活随笔為你收集整理的热乎着，昨晚阿里这题真太绝了的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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