約瑟夫問題由來

據(jù)說著名猶太歷史學家 Josephus有過以下的故事:在羅馬人占領(lǐng)喬塔帕特后，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧愿死也不要被敵人抓到，于是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數(shù)，每報數(shù)到第3人該人就必須自殺，然后再由下一個重新報數(shù)，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵從。首先從一個人開始，越過k-2個人(因為第一個人已經(jīng)被越過)，并殺掉第k個人。接著，再越過k-1個人，并殺掉第k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續(xù)活著。問題是，給定了人數(shù)總和，一開始要站在什么地方才能避免被處決?Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，于是逃過了這場死亡游戲。

17世紀的法國數(shù)學家加斯帕在《數(shù)目的游戲問題》中講了這樣一個故事:15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其余的人才能幸免于難，于是想了一個辦法:30個人圍成一圓圈，從第一個人開始依次報數(shù)，每數(shù)到第九個人就將他扔入大海，如此循環(huán)進行，直到僅余15個人為止。問怎樣的?排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

約瑟夫問題算法思想

由于用到四種不同的存儲結(jié)構(gòu)，它們的算法思想依次是：

首先建立一個順序表模擬整個約瑟夫環(huán)，手動輸入順序表長(即參加約瑟夫循環(huán)的人數(shù))和循環(huán)的次數(shù)和表元素。用已經(jīng)輸出總?cè)藬?shù)和順序表長作比較，作為外層循環(huán)條件。并對每一個輸出后的元素重新賦值以為標記。對于每次循環(huán)，首先檢查順序表此次是不是我們設(shè)立的標記，如果不是則循環(huán)次數(shù)加1，當達到要求的循環(huán)次數(shù)時就將循環(huán)次數(shù)設(shè)置為0，輸出該元素到屏幕并將總輸出元素加1。每次外循環(huán)我們都會移到表的下一個位置，作為新的判斷條件，每次報到表尾的時候，我們都將重新設(shè)置到表尾，作為下次循環(huán)的表元素。

首先采用鏈式循環(huán)鏈表建立整個約瑟夫環(huán)，手動輸入第一次的循環(huán)次數(shù)和每個人所持下一個循環(huán)次數(shù)。設(shè)立判斷指針指向表頭，并將該指針是否為空作為外層循環(huán)條件。做一個內(nèi)層循環(huán)，將判斷指針移動到循環(huán)要輸出的數(shù)，并設(shè)立一個前指針指向該指針的前一個位置，輸出該元素后，將循環(huán)次數(shù)重新賦值成該元素。接著判斷前指針和判斷指針比較，如果相等說明整個表已經(jīng)輸出完畢，否則將刪除該位置的元素。

用鏈式隊列建立循環(huán)約瑟夫環(huán)，手動輸入人數(shù)，第一次的循環(huán)次數(shù)和每個人所持下一個循環(huán)次數(shù)。并將每一個元素依次加入隊列，根據(jù)第一次循環(huán)次數(shù)，建立一個for循環(huán)，每一次循環(huán)都能出隊列，如果達到要求的循環(huán)次數(shù)就輸出，否則進隊列，這樣這個數(shù)字就出現(xiàn)在隊尾。第一個數(shù)輸出后，以隊列的非空作為循環(huán)條件，判斷方式如上。

用循環(huán)隊列建立約瑟夫環(huán)，將1-7個元素依次進入隊列，以隊列的長度作為與已輸出的元素作為判斷條件，對每一個輸出后的元素重新賦值以為標記。對于每次循環(huán)，首先檢查該位置元素是不是我們設(shè)立的標記-1，如果不是則循環(huán)次數(shù)加1，將隊首指針移到隊列的下一個元素，結(jié)束此次循環(huán)，當達到要求的循環(huán)次數(shù)時就將重新循環(huán)次數(shù)設(shè)置為0，輸出該元素到屏幕并將總輸出元素加1.

問題分析與算法設(shè)計

約瑟夫問題并不難，但求解的方法很多;題目的變化形式也很多。這里給出一種實現(xiàn)方法。

題目中30個人圍成一圈，因而啟發(fā)我們用一個循環(huán)的鏈來表示，可以使用結(jié)構(gòu)數(shù)組來構(gòu)成一個循環(huán)鏈。結(jié)構(gòu)中有兩個成員，其一為指向下一個人的指針，以構(gòu)成環(huán)形的鏈;其二為該人是否被扔下海的標記，為1表示還在船上。從第一個人開始對還未扔下海的人進行計數(shù)，每數(shù)到9時，將結(jié)構(gòu)中的標記改為0，表示該人已被扔下海了。這樣循環(huán)計數(shù)直到有15個人被扔下海為止。

問題示例

設(shè)編號分別為:1,2,...,n的n個人圍坐一圈。約定序號為k(1 <= k < = n)的人從1開始計數(shù)，數(shù)到m的那個人出列，他的下一位又從1開始計數(shù)，數(shù)到m的那個人又出列，依次類推，直到所有人出列為止；

設(shè)n=8,k=3,m=4時：

出列為:6,2,7,4,3,5,1,8

算法思路:用一個不帶頭結(jié)點的循環(huán)鏈表來處理Josephu問題：先構(gòu)成一個有n個結(jié)點的單循環(huán)鏈表，然后從第k結(jié)點起從1計數(shù)，計到m時，對應結(jié)點從鏈表中刪除；然后再從被刪除結(jié)點的下一個結(jié)點起又從1開始計數(shù)....,直到所有結(jié)點都列出時算法結(jié)束。

代碼實現(xiàn)：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的围成一圈的排列组合问题_约瑟夫问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。