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一. 正態(tài)過程（高斯過程）

人們常常將噪聲、誤差視為正態(tài)變量，因?yàn)樗鼈兪艿酱罅开?dú)立的、均勻微小的隨機(jī)因素的疊加影響，利用中心極限定理可知它們近似服從正態(tài)分布（《高等統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》5：非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理初步中證明中心極限定理時(shí)所構(gòu)造的

，它的含義亦如此）。1. 注意：正態(tài)過程是有限維正態(tài)隨機(jī)向量概念的推廣，有限維正態(tài)隨機(jī)向量的相關(guān)知識(shí)參考【1】P 31-36頁。
(a) 對(duì)于 的計(jì)算， 類比
同樣可以得到 。
(b) 【1】P31的二維協(xié)方差矩陣寫為 是因?yàn)? ，而皮爾遜相關(guān)系數(shù)公式有 ，因此代入后能很容易得到上述形式。
對(duì)于正態(tài)過程，它的任意有限維分布函數(shù)族是正態(tài)分布函數(shù)族。

1.1 判別

（1）定義判別

(a) 給定隨機(jī)過程

，若對(duì)任意的正整數(shù) 及任意的 ，隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布是 維正態(tài)分布，即

，則稱

是正態(tài)過程。其中

注意這里的概率密度公式里將均值和協(xié)方差換成了均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

(b) 如果概率密度函數(shù)很難求，有時(shí)還可以通過其特征函數(shù)的形式來判斷。

維正態(tài)分布的特征函數(shù)為 。其中 （注意這里 和 的區(qū)別，不要混淆了，才是均值函數(shù)），因此它也可以作為定義判別中的一個(gè)形式。

（2）充要條件判別

直接用定義判別是比較困難的，因此我們常用以下充要條件準(zhǔn)則進(jìn)行判別：

為正態(tài)過程的充要條件是 的任意非零線性組合 為一維正態(tài)分布。（如果已知某過程為正態(tài)過程，那么也要能夠想到此線性組合的存在，正態(tài)過程的可加性證明正是用到了這一點(diǎn)）（【3】P81的2題、【3】P83的3題、【3】P97的11題(1)）1. 理解：比如研究接收器在連續(xù)時(shí)間內(nèi)接受到的信號(hào)強(qiáng)度變化情況。因?yàn)槲覀冎揽隙ㄊ谴嬖谡`差的，不僅表現(xiàn)在同一實(shí)驗(yàn)各時(shí)刻的強(qiáng)度不同，還表現(xiàn)在同一時(shí)刻但不同實(shí)驗(yàn)下強(qiáng)度不同（即我們先用接收器接收，得到一段強(qiáng)度序列，過一會(huì)兒再用它接受，得到的可能又是另外一段強(qiáng)度序列了，因?yàn)檎`差不僅不會(huì)讓一段強(qiáng)度序列中各值相等，而且也不會(huì)讓不同的強(qiáng)度序列變換情況全一樣）。所以我們從全局視角來看，選擇一些時(shí)刻，不同實(shí)驗(yàn)會(huì)接收到一段不同的信號(hào)強(qiáng)度序列，而每一段不同的信號(hào)強(qiáng)度序列在隨機(jī)過程（即很多次實(shí)驗(yàn)里）會(huì)有一定的出現(xiàn)頻次，將這些選取的時(shí)刻及其出現(xiàn)的不同信號(hào)強(qiáng)度序列和出現(xiàn)頻數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的結(jié)果為正態(tài)分布，要注意，對(duì)于任何選取的時(shí)刻 都成立( 實(shí)則類比了定理：n維正態(tài)分布隨機(jī)向量的任一子向量也服從正態(tài)分布，即多維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布)

1.2 數(shù)字特征

若

是具有零均值和協(xié)方差 的正態(tài)過程, 則對(duì)于任意的非負(fù)數(shù) 和 ,有如下性質(zhì)：

（1）

;

（2）

;

（3）

;

（4）

;

（5）

;

（6）

。

（上述結(jié)論中(2)和(3)、(5)和(6)可以配套的！）（【3】P93證明）

1. 注意：(a) 一定要注意這些性質(zhì)的前提條件，即零均值，這是一個(gè)特殊的情況；(b) 寫法上要注意， 和其實(shí)是等價(jià)的，和均值函數(shù)的寫法一樣；(b)性質(zhì)(2) (6)的證明難一些；(c)多次用到 這個(gè)代換，性質(zhì)(3)(5)，反正凡遇到 ，則用這個(gè)公式來拆！

1.3 定理

（1）正態(tài)過程為獨(dú)立過程的充要條件為

；（【3】P85的6題）

（2）正態(tài)過程具有可加性；（【3】P83證明）

（3）正態(tài)過程是二階矩過程，其有窮維分布由

及其協(xié)方差確定。（【3】P163的1題）1. 注意：證明(2)前要知道

二. 泊松過程

泊松過程用于研究隨機(jī)點(diǎn)過程按時(shí)間順序出現(xiàn)的情況。客觀世界中，存在這樣一類隨機(jī)現(xiàn)象，它們發(fā)生的時(shí)間、地點(diǎn)或者相聯(lián)系的某些屬性，常常可以歸屬于某空間中點(diǎn)的隨機(jī)發(fā)生，這種點(diǎn)就構(gòu)成了隨機(jī)點(diǎn)過程（早期稱之為隨機(jī)事件流）。比如：用蓋格計(jì)數(shù)器來記錄某類粒子的到達(dá)、電話交換機(jī)接到的呼叫事件、通信系統(tǒng)運(yùn)行中出現(xiàn)的誤碼、細(xì)胞中染色體發(fā)生的交換、航空公司接收到的托運(yùn)訂單等等，以上問題共同特點(diǎn)是關(guān)心某個(gè)事件

，如“到達(dá)”、“誤碼”、“交換”、“接受訂單”等按時(shí)間順序出現(xiàn)的情況。實(shí)例：【1】P46頁。下面這個(gè)例子可以理解泊松過程研究的是什么，以及進(jìn)一步理解隨機(jī)過程：一天中某電話交換臺(tái)接收到的呼叫形成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)過程。每一次呼叫發(fā)生的時(shí)間就是一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)過程的一條現(xiàn)實(shí)（即樣本函數(shù)）是一個(gè)時(shí)間的序列。（在研究的時(shí)候，貌似往往是以“時(shí)間段”為分析對(duì)象，而非“時(shí)刻”）

2.1 齊次泊松過程

2.1.1 判別

(1) 計(jì)數(shù)過程

是參數(shù)為 的齊次泊松過程，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：(a) (b) 具有獨(dú)立增量；(c) 對(duì)任意 隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的泊松分布:。

(2) 等價(jià)定義：若取非負(fù)整數(shù)值得計(jì)數(shù)過程

滿足下列條件：(a) (b)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量; (c) (d) ，稱隨機(jī)過程 是參數(shù)（或平均率、強(qiáng)度）為 的齊次泊松過程。1. 注意：判別定義(1) 中 (c) 的證明：【1】P48-49頁。它可由條件(a)零初值性和條件(b)平穩(wěn)增量性得證，還要用到下面等價(jià)定理的條件(c)(d)，也就是說，這里的條件(c)和下面等價(jià)定理中的條件(c)(d)是等價(jià)的；判別定義(2)中，(b)比較重要，其 中的 只要滿足 ，而時(shí)間間隔隨意，它可以求得 等，(c)(d)主要為了以后方便計(jì)算。

2.1.2 數(shù)字特征

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

（之所以用min是因?yàn)椴幻鞔_s和t時(shí)刻的大小，下同）；

（6）

；

（7）

。

（【1】P50頁(2)~(7)的推導(dǎo)）

1. 注意：(a)推導(dǎo)(2)時(shí)， 認(rèn)準(zhǔn)變量名然后往里代；(b)推導(dǎo)(7)時(shí)，用好平穩(wěn)獨(dú)立增量這個(gè)性質(zhì)（“重構(gòu)概率參數(shù)”+“獨(dú)立性拆分”），包括以后遇到同樣具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì)的隨機(jī)過程，要會(huì)用這個(gè)性質(zhì)；(c)從推導(dǎo)(3)時(shí)可得 是單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)事件數(shù)，稱為隨機(jī)事件的平均到達(dá)率，有了這個(gè)概念后，(3)和(4)也很好理解了；(d) 推導(dǎo)(6)時(shí)，也利用了泊松過程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性進(jìn)行了一個(gè)很精彩的構(gòu)造。

2.1.3 性質(zhì)

（1）泊松過程

為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程（算概率的時(shí)候好好用這個(gè)性質(zhì)）；（【3】P172的17題、P175的22題（1））

（2）泊松過程

為馬爾可夫過程；

（3）泊松過程

為生滅過程；

（4）泊松過程

為均方連續(xù)、均方不可導(dǎo)、均方可積的二階矩過程；（【3】P168的12題、P169的14題、P164的2題）

（5）泊松過程

為非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)增量過程（區(qū)分！對(duì)象不同）。1. 套路：只要隨機(jī)過程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì)，那么在證明各種東東的時(shí)候要重點(diǎn)嘗試無中生有的技巧。

2.1.4 定理（中間幾個(gè)定理是“頻域”和“時(shí)域“的轉(zhuǎn)換）

（1）若

是參數(shù)為 的齊次泊松過程。 ，事件A在 時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)了 次，則隨機(jī)事件A在 時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn) 次的概率 為 。（【1】P51證明）

（2）設(shè)

是參數(shù)為 的泊松過程 的到達(dá)時(shí)間間隔序列，則相互獨(dú)立同服從指數(shù)分布( )，且 （即平均時(shí)間間隔）。其中“到達(dá)時(shí)間間隔 ” 表示第 次出現(xiàn)到第 次出現(xiàn)間的點(diǎn)間間距。（【1】P53證明）

（3）設(shè)

為參數(shù)為 的泊松過程 的等待時(shí)間序列，則等待時(shí)間 服從 分布，其概率密度為 ，其中“等待時(shí)間序列” 分別表示事件第1，第2，...，第n次出現(xiàn)的時(shí)間。（【1】P53證明）

（4）（a）設(shè)

是齊次泊松過程，已知事件 在 上出現(xiàn)1次，則這1次事件的到達(dá)時(shí)間 的條件概率密度為 （【1】P54證明）

（b）推廣：設(shè)

是泊松過程，已知在 時(shí)間內(nèi) 出現(xiàn) 次，則這 次事件的到達(dá)時(shí)間 的聯(lián)合條件概率密度為 （【1】P55證明）（【3】P106的43題）

（c）引理：設(shè)

是參數(shù)為 的齊次泊松過程，如果 內(nèi)有 個(gè)隨機(jī)事件A到達(dá)，則 個(gè)到達(dá)時(shí)間 和 個(gè)相互獨(dú)立同服從 上均勻分布的隨機(jī)變量 的順序統(tǒng)計(jì)量 同分布。

（5）設(shè)

和是相互獨(dú)立，參數(shù)分別為 和 的泊松過程，則 是參數(shù)為 的柏松過程。該定理稱為泊松過程的疊加定理。（和正態(tài)過程的一樣具有可加性）（【1】P68-69證明）

（6）參數(shù)為

的泊松過程 ，全體事件可分為 類，第 類事件發(fā)生的概率為 則 可分解為 個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程之和，各泊松過程的參數(shù)分別為 。該定理稱為泊松過程的分解定理。（【1】P71-72證明）（【1】P69的例2.4.12、【3】P104的40題、P103的37題、P107的44題，這些題都是定理在現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用）1.注意：泊松分布 的含義是什么，即在 時(shí)刻內(nèi)發(fā)生的次數(shù)，而非 時(shí)刻時(shí)；

2.2 非齊次泊松過程

非齊次泊松過程與齊次泊松過程的區(qū)別在于：非齊次泊松過程的增量分布與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)，即

不是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)強(qiáng)度函數(shù) 。之所以引進(jìn)非齊次泊松過程，是因?yàn)榇蠖鄶?shù)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的實(shí)際點(diǎn)過程的到達(dá)率往往不能理想化為常數(shù)，比如觀察通過某哨所的車流量，往往需要考慮高峰期等等，因此不滿足泊松過程的增量平穩(wěn)性特征。

2.2.1 判別

若計(jì)數(shù)過程

滿足下列條件：(a) (b) 具有獨(dú)立增量；(c) (d) ，則稱 為具有強(qiáng)度函數(shù) 的非齊次泊松過程。（【3】P91的12題，應(yīng)用題）

2.2.2 數(shù)字特征

（1）若

是非齊次泊松過程，且其強(qiáng)度函數(shù) 為連續(xù)函數(shù)，則在時(shí)間段 內(nèi)事件 出現(xiàn) 次的概率為 ，其中 。由上式可知 服從均值為 的泊松分布 。（【1】P57的例2.3.10）

（2）

。

（3）

。

（4）一維特征函數(shù)為

。（【1】P57證明）

（【3】P108的46題）

2.3 復(fù)合泊松過程

實(shí)際應(yīng)用中我們往往還關(guān)注“總數(shù)量”，因此在非齊次泊松過程的基礎(chǔ)上引入復(fù)合泊松過程。它具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景。

2.3.1 判別

若對(duì)于

， 可以表示為 ，其中 是一個(gè)泊松過程， 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，并與 相互獨(dú)立（即與次數(shù)無關(guān)），則稱隨機(jī)過程 為復(fù)合泊松過程。（【3】P91的13題）1. 理解：【1】P64-65頁（公交車到站的例子！及公交車到站數(shù)是泊松過程，公交車?yán)锩娴娜藬?shù)又是一個(gè)隨機(jī)過程，考慮這兩個(gè)因素的復(fù)合，就是到站總?cè)藬?shù)）
理解： 是同分布的隨機(jī)變量，但并不局限在哪一種分布，但是這個(gè)合成的分布卻與泊松分布有關(guān)。

2.3.2 數(shù)字特征

設(shè)

是一個(gè)復(fù)合泊松過程，泊松過程的強(qiáng)度為 ，則 滿足：

（1）是獨(dú)立增量過程；

（2）一維特征函數(shù)為

；

（3）

，

。（【1】P65-66證明）

2.4 更新計(jì)數(shù)過程

齊次泊松過程的到達(dá)時(shí)間間隔序列相互獨(dú)立同服從指數(shù)分布，但實(shí)際計(jì)數(shù)過程的到達(dá)時(shí)間間隔序列往往僅滿足相互獨(dú)立同分布性，因此有必要對(duì)齊次泊松過程進(jìn)行推廣。

2.4.1 判別

設(shè)

是相互獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)均為 ，令 。將由 定義的計(jì)數(shù)過程 稱為更新（計(jì)數(shù)）過程，稱其均值函數(shù) 為更新函數(shù)，稱 為更新間距。（上述記號(hào) 表示“上確界“，即最小的上界）1. 理解：【1】P59-60頁的實(shí)例

2.4.2 性質(zhì)

設(shè)

為計(jì)數(shù)過程 第 個(gè)事件的到達(dá)時(shí)間， ，事件 等價(jià)于事件 ，則 。其 的分布函數(shù) 可由其特征函數(shù) 確定， 。

2.4.3 定理

（1）設(shè)

是更新過程，其更新函數(shù)為 （若更新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在，記 稱為更新過程的更新密度（強(qiáng)度），有 ）。（【1】P63證明）

（2）更新計(jì)數(shù)過程

是泊松過程的充要條件是更新間距具有指數(shù)分布。1. 注意：對(duì)于定理(2) ，【1】P62頁，該定理可以給出泊松過程的又一種定義方法，這種定義方法提供了一種在計(jì)算機(jī)上模擬泊松過程現(xiàn)實(shí)的途徑

三. 維納過程

維納過程對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)在理論上做出了精確的數(shù)學(xué)描述。布朗運(yùn)動(dòng)是物理學(xué)家布朗在觀察漂浮在液面上的花粉的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)而提出的。因此布朗運(yùn)動(dòng)又稱為維納過程。

它是最基本同時(shí)也是最重要的隨機(jī)過程，許多隨機(jī)過程都可以看做是它在某種意義下的推廣。

3.1 判別

（1）如果隨機(jī)過程

滿足下列條件：(a) (b) (c) 具有平穩(wěn)獨(dú)立增量；(d) ，稱隨機(jī)過程是參數(shù)為 的維納過程。（若 ，則稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程）。

（2）3個(gè)等價(jià)條件：(a) 是獨(dú)立增量過程；(b)對(duì)任意

；(c) 。1. 思想和推導(dǎo)：【1】P41頁（先從離散情形建模開始，求出均值和方差的表達(dá)式，再推廣至連續(xù)情形，最后來個(gè)泛函中心極限定理證明它趨近于正態(tài)分布！），一定要注意：維納過程的模型，等概率（即1/2）地向左或向右移動(dòng)。
2. 理解：維納過程研究這樣一種情形：一個(gè)粒子遵從上述游走模型運(yùn)動(dòng)，第t步后它會(huì)與初始位置有一個(gè)偏移量。當(dāng)然，進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)它都可能會(huì)在同樣的步數(shù)后處于不同的偏移位移，拿出三維模型進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的疊加，可以得到不同時(shí)刻的不同偏移量在所有實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)頻率的一個(gè)統(tǒng)計(jì)分布，神奇的是，它就是正態(tài)分布。

3.2 數(shù)字特征

（1）

。

（2）

。

（3）

。

（4）

。

（5）

。

（6）

。

（7）

（8）

。

（9）

。

（10）

。（【3】P93的15題、P95的19題）1. 注意：(a) 協(xié)方差矩陣 的表示；(b) 證明過程中用到 。

3.3 性質(zhì)

（1）維納過程

為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；（【3】P192的15題證明）

（2）維納過程

為正態(tài)過程；（【1】P42證明）

（3）維納過程

為馬爾可夫過程；

（4）維納過程

為均方連續(xù)、均方不可導(dǎo)、均方可積的二階矩過程；（【3】P168的11題和13題、P170的15題）

（5）維納過程

為非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)增量過程。

3.4 定理

（1）設(shè)

是正態(tài)過程，若 ，對(duì)任意 ，有 ，且軌道連續(xù)，則 是維納過程，反之亦然。其中，軌道連續(xù)是指隨機(jī)過程的樣本函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。可以證明維拉過程 幾乎所有樣本函數(shù)都是連續(xù)的，即存在 ，使 時(shí)， 在 上連續(xù)。用上述定理還可以得到一系列有用的結(jié)論：（【3】P97的23題(2)）

（2）設(shè)

是參數(shù)為 的維納過程，記 ，則

(a) 對(duì)任意

(b) 對(duì)常數(shù)

(c)

其中 ；

仍為維納過程。（【1】P44證明）

（【3】P99-100的25題、26題和27題，分別是Brown橋過程、帶有漂移的Brown橋過程和幾何Brown橋過程，它們?cè)谧C券價(jià)格波動(dòng)問題中有著重要的應(yīng)用）

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的指数随机变量 泊松过程跳_《常见随机过程》（一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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