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指数随机变量泊松过程跳_《常见随机过程》（一）

發(fā)布時間：2025/3/20 32 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了指数随机变量泊松过程跳_《常见随机过程》（一）小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

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一. 正態(tài)過程（高斯過程）

人們常常將噪聲、誤差視為正態(tài)變量，因為它們受到大量獨立的、均勻微小的隨機因素的疊加影響，利用中心極限定理可知它們近似服從正態(tài)分布（《高等統(tǒng)計物理學》5：非平衡態(tài)統(tǒng)計物理初步中證明中心極限定理時所構造的

，它的含義亦如此）。1. 注意：正態(tài)過程是有限維正態(tài)隨機向量概念的推廣，有限維正態(tài)隨機向量的相關知識參考【1】P 31-36頁。
(a) 對于的計算，類比
同樣可以得到。
(b) 【1】P31的二維協(xié)方差矩陣寫為是因為，而皮爾遜相關系數公式有，因此代入后能很容易得到上述形式。
對于正態(tài)過程，它的任意有限維分布函數族是正態(tài)分布函數族。

1.1 判別

（1）定義判別

(a) 給定隨機過程

，若對任意的正整數及任意的，隨機變量的聯(lián)合分布是維正態(tài)分布，即

，則稱

是正態(tài)過程。其中

注意這里的概率密度公式里將均值和協(xié)方差換成了均值函數和協(xié)方差函數。

(b) 如果概率密度函數很難求，有時還可以通過其特征函數的形式來判斷。

維正態(tài)分布的特征函數為。其中（注意這里和的區(qū)別，不要混淆了，才是均值函數），因此它也可以作為定義判別中的一個形式。

（2）充要條件判別

直接用定義判別是比較困難的，因此我們常用以下充要條件準則進行判別：

為正態(tài)過程的充要條件是的任意非零線性組合為一維正態(tài)分布。（如果已知某過程為正態(tài)過程，那么也要能夠想到此線性組合的存在，正態(tài)過程的可加性證明正是用到了這一點）（【3】P81的2題、【3】P83的3題、【3】P97的11題(1)）1. 理解：比如研究接收器在連續(xù)時間內接受到的信號強度變化情況。因為我們知道肯定是存在誤差的，不僅表現(xiàn)在同一實驗各時刻的強度不同，還表現(xiàn)在同一時刻但不同實驗下強度不同（即我們先用接收器接收，得到一段強度序列，過一會兒再用它接受，得到的可能又是另外一段強度序列了，因為誤差不僅不會讓一段強度序列中各值相等，而且也不會讓不同的強度序列變換情況全一樣）。所以我們從全局視角來看，選擇一些時刻，不同實驗會接收到一段不同的信號強度序列，而每一段不同的信號強度序列在隨機過程（即很多次實驗里）會有一定的出現(xiàn)頻次，將這些選取的時刻及其出現(xiàn)的不同信號強度序列和出現(xiàn)頻數進行統(tǒng)計，得到的結果為正態(tài)分布，要注意，對于任何選取的時刻都成立( 實則類比了定理：n維正態(tài)分布隨機向量的任一子向量也服從正態(tài)分布，即多維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布)

1.2 數字特征

若

是具有零均值和協(xié)方差的正態(tài)過程, 則對于任意的非負數和 ,有如下性質：

（1）

;

（2）

;

（3）

;

（4）

;

（5）

;

（6）

。

（上述結論中(2)和(3)、(5)和(6)可以配套的！）（【3】P93證明）

1. 注意：(a) 一定要注意這些性質的前提條件，即零均值，這是一個特殊的情況；(b) 寫法上要注意，和其實是等價的，和均值函數的寫法一樣；(b)性質(2) (6)的證明難一些；(c)多次用到這個代換，性質(3)(5)，反正凡遇到，則用這個公式來拆！

1.3 定理

（1）正態(tài)過程為獨立過程的充要條件為

；（【3】P85的6題）

（2）正態(tài)過程具有可加性；（【3】P83證明）

（3）正態(tài)過程是二階矩過程，其有窮維分布由

及其協(xié)方差確定。（【3】P163的1題）1. 注意：證明(2)前要知道

二. 泊松過程

泊松過程用于研究隨機點過程按時間順序出現(xiàn)的情況。客觀世界中，存在這樣一類隨機現(xiàn)象，它們發(fā)生的時間、地點或者相聯(lián)系的某些屬性，常常可以歸屬于某空間中點的隨機發(fā)生，這種點就構成了隨機點過程（早期稱之為隨機事件流）。比如：用蓋格計數器來記錄某類粒子的到達、電話交換機接到的呼叫事件、通信系統(tǒng)運行中出現(xiàn)的誤碼、細胞中染色體發(fā)生的交換、航空公司接收到的托運訂單等等，以上問題共同特點是關心某個事件

，如“到達”、“誤碼”、“交換”、“接受訂單”等按時間順序出現(xiàn)的情況。實例：【1】P46頁。下面這個例子可以理解泊松過程研究的是什么，以及進一步理解隨機過程：一天中某電話交換臺接收到的呼叫形成一個隨機點過程。每一次呼叫發(fā)生的時間就是一個隨機點，這個點過程的一條現(xiàn)實（即樣本函數）是一個時間的序列。（在研究的時候，貌似往往是以“時間段”為分析對象，而非“時刻”）

2.1 齊次泊松過程

2.1.1 判別

(1) 計數過程

是參數為的齊次泊松過程，當且僅當滿足下列條件：(a) (b) 具有獨立增量；(c) 對任意隨機變量服從參數為的泊松分布:。

(2) 等價定義：若取非負整數值得計數過程

滿足下列條件：(a) (b)具有平穩(wěn)獨立增量; (c) (d) ，稱隨機過程是參數（或平均率、強度）為的齊次泊松過程。1. 注意：判別定義(1) 中 (c) 的證明：【1】P48-49頁。它可由條件(a)零初值性和條件(b)平穩(wěn)增量性得證，還要用到下面等價定理的條件(c)(d)，也就是說，這里的條件(c)和下面等價定理中的條件(c)(d)是等價的；判別定義(2)中，(b)比較重要，其中的只要滿足，而時間間隔隨意，它可以求得等，(c)(d)主要為了以后方便計算。

2.1.2 數字特征

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

（之所以用min是因為不明確s和t時刻的大小，下同）；

（6）

；

（7）

。

（【1】P50頁(2)~(7)的推導）

1. 注意：(a)推導(2)時，認準變量名然后往里代；(b)推導(7)時，用好平穩(wěn)獨立增量這個性質（“重構概率參數”+“獨立性拆分”），包括以后遇到同樣具有平穩(wěn)獨立增量性質的隨機過程，要會用這個性質；(c)從推導(3)時可得是單位時間內平均到達事件數，稱為隨機事件的平均到達率，有了這個概念后，(3)和(4)也很好理解了；(d) 推導(6)時，也利用了泊松過程的平穩(wěn)獨立增量性進行了一個很精彩的構造。

2.1.3 性質

（1）泊松過程

為平穩(wěn)獨立增量過程（算概率的時候好好用這個性質）；（【3】P172的17題、P175的22題（1））

（2）泊松過程

為馬爾可夫過程；

（3）泊松過程

為生滅過程；

（4）泊松過程

為均方連續(xù)、均方不可導、均方可積的二階矩過程；（【3】P168的12題、P169的14題、P164的2題）

（5）泊松過程

為非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)增量過程（區(qū)分！對象不同）。1. 套路：只要隨機過程具有平穩(wěn)獨立增量性質，那么在證明各種東東的時候要重點嘗試無中生有的技巧。

2.1.4 定理（中間幾個定理是“頻域”和“時域“的轉換）

（1）若

是參數為的齊次泊松過程。，事件A在時間段內出現(xiàn)了次，則隨機事件A在時間段內出現(xiàn) 次的概率為。（【1】P51證明）

（2）設

是參數為的泊松過程的到達時間間隔序列，則相互獨立同服從指數分布( )，且（即平均時間間隔）。其中“到達時間間隔 ” 表示第次出現(xiàn)到第次出現(xiàn)間的點間間距。（【1】P53證明）

（3）設

為參數為的泊松過程的等待時間序列，則等待時間服從分布，其概率密度為，其中“等待時間序列” 分別表示事件第1，第2，...，第n次出現(xiàn)的時間。（【1】P53證明）

（4）（a）設

是齊次泊松過程，已知事件在上出現(xiàn)1次，則這1次事件的到達時間的條件概率密度為（【1】P54證明）

（b）推廣：設

是泊松過程，已知在時間內出現(xiàn) 次，則這次事件的到達時間的聯(lián)合條件概率密度為（【1】P55證明）（【3】P106的43題）

（c）引理：設

是參數為的齊次泊松過程，如果內有個隨機事件A到達，則個到達時間和個相互獨立同服從上均勻分布的隨機變量的順序統(tǒng)計量同分布。

（5）設

和是相互獨立，參數分別為和的泊松過程，則是參數為的柏松過程。該定理稱為泊松過程的疊加定理。（和正態(tài)過程的一樣具有可加性）（【1】P68-69證明）

（6）參數為

的泊松過程，全體事件可分為類，第類事件發(fā)生的概率為則可分解為個相互獨立的泊松過程之和，各泊松過程的參數分別為。該定理稱為泊松過程的分解定理。（【1】P71-72證明）（【1】P69的例2.4.12、【3】P104的40題、P103的37題、P107的44題，這些題都是定理在現(xiàn)實問題中的應用）1.注意：泊松分布的含義是什么，即在時刻內發(fā)生的次數，而非時刻時；

2.2 非齊次泊松過程

非齊次泊松過程與齊次泊松過程的區(qū)別在于：非齊次泊松過程的增量分布與時間起點有關，即

不是一個常數，而是一個強度函數。之所以引進非齊次泊松過程，是因為大多數現(xiàn)實系統(tǒng)的實際點過程的到達率往往不能理想化為常數，比如觀察通過某哨所的車流量，往往需要考慮高峰期等等，因此不滿足泊松過程的增量平穩(wěn)性特征。

2.2.1 判別

若計數過程

滿足下列條件：(a) (b) 具有獨立增量；(c) (d) ，則稱為具有強度函數的非齊次泊松過程。（【3】P91的12題，應用題）

2.2.2 數字特征

（1）若

是非齊次泊松過程，且其強度函數為連續(xù)函數，則在時間段內事件出現(xiàn) 次的概率為，其中。由上式可知服從均值為的泊松分布。（【1】P57的例2.3.10）

（2）

。

（3）

。

（4）一維特征函數為

。（【1】P57證明）

（【3】P108的46題）

2.3 復合泊松過程

實際應用中我們往往還關注“總數量”，因此在非齊次泊松過程的基礎上引入復合泊松過程。它具有很強的應用背景。

2.3.1 判別

若對于

，可以表示為，其中是一個泊松過程，是獨立同分布的隨機變量序列，并與相互獨立（即與次數無關），則稱隨機過程為復合泊松過程。（【3】P91的13題）1. 理解：【1】P64-65頁（公交車到站的例子！及公交車到站數是泊松過程，公交車里面的人數又是一個隨機過程，考慮這兩個因素的復合，就是到站總人數）
理解：是同分布的隨機變量，但并不局限在哪一種分布，但是這個合成的分布卻與泊松分布有關。

2.3.2 數字特征

設

是一個復合泊松過程，泊松過程的強度為，則滿足：

（1）是獨立增量過程；

（2）一維特征函數為

；

（3）

，

。（【1】P65-66證明）

2.4 更新計數過程

齊次泊松過程的到達時間間隔序列相互獨立同服從指數分布，但實際計數過程的到達時間間隔序列往往僅滿足相互獨立同分布性，因此有必要對齊次泊松過程進行推廣。

2.4.1 判別

設

是相互獨立同分布的非負隨機變量序列，其分布函數均為，令。將由定義的計數過程稱為更新（計數）過程，稱其均值函數為更新函數，稱為更新間距。（上述記號表示“上確界“，即最小的上界）1. 理解：【1】P59-60頁的實例

2.4.2 性質

設

為計數過程第個事件的到達時間，，事件等價于事件，則。其的分布函數可由其特征函數確定，。

2.4.3 定理

（1）設

是更新過程，其更新函數為（若更新函數的導函數存在，記稱為更新過程的更新密度（強度），有）。（【1】P63證明）

（2）更新計數過程

是泊松過程的充要條件是更新間距具有指數分布。1. 注意：對于定理(2) ，【1】P62頁，該定理可以給出泊松過程的又一種定義方法，這種定義方法提供了一種在計算機上模擬泊松過程現(xiàn)實的途徑

三. 維納過程

維納過程對布朗運動在理論上做出了精確的數學描述。布朗運動是物理學家布朗在觀察漂浮在液面上的花粉的不規(guī)則運動而提出的。因此布朗運動又稱為維納過程。

它是最基本同時也是最重要的隨機過程，許多隨機過程都可以看做是它在某種意義下的推廣。

3.1 判別

（1）如果隨機過程

滿足下列條件：(a) (b) (c) 具有平穩(wěn)獨立增量；(d) ，稱隨機過程是參數為的維納過程。（若，則稱為標準維納過程）。

（2）3個等價條件：(a) 是獨立增量過程；(b)對任意

；(c) 。1. 思想和推導：【1】P41頁（先從離散情形建模開始，求出均值和方差的表達式，再推廣至連續(xù)情形，最后來個泛函中心極限定理證明它趨近于正態(tài)分布！），一定要注意：維納過程的模型，等概率（即1/2）地向左或向右移動。
2. 理解：維納過程研究這樣一種情形：一個粒子遵從上述游走模型運動，第t步后它會與初始位置有一個偏移量。當然，進行多次實驗它都可能會在同樣的步數后處于不同的偏移位移，拿出三維模型進行多次實驗結果的疊加，可以得到不同時刻的不同偏移量在所有實驗中出現(xiàn)頻率的一個統(tǒng)計分布，神奇的是，它就是正態(tài)分布。

3.2 數字特征

（1）

。

（2）

。

（3）

。

（4）

。

（5）

。

（6）

。

（7）

（8）

。

（9）

。

（10）

。（【3】P93的15題、P95的19題）1. 注意：(a) 協(xié)方差矩陣的表示；(b) 證明過程中用到。

3.3 性質

（1）維納過程

為平穩(wěn)獨立增量過程；（【3】P192的15題證明）

（2）維納過程

為正態(tài)過程；（【1】P42證明）

（3）維納過程

為馬爾可夫過程；

（4）維納過程

為均方連續(xù)、均方不可導、均方可積的二階矩過程；（【3】P168的11題和13題、P170的15題）

（5）維納過程

為非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)增量過程。

3.4 定理