1.原碼，反碼，補(bǔ)碼的基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法

在搞清楚為什么計(jì)算機(jī)要使用補(bǔ)碼之前，我們先搞清楚一個(gè)基本知識點(diǎn)，就是原碼，反碼，補(bǔ)碼的計(jì)算方式。

對于一個(gè)數(shù)，計(jì)算機(jī)要使用一定的編碼方式進(jìn)行存儲，原碼，反碼，補(bǔ)碼是機(jī)器存儲一個(gè)具體數(shù)字的編碼方式。

原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位表示符號，其他為表示值。

比如8位二進(jìn)制：
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符號位，所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍是：
[1111 1111,0111,1111]
即
[-127,127]
原碼是我們最容易理解的計(jì)算方式。

反碼

正數(shù)的反碼是其本身

負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，符號位不變，其余逐個(gè)取反
[+1]=[0000 0001]原=[0000 0001]反
[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反
當(dāng)反碼表示一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候，人腦是無所直觀得知他的數(shù)值，所以需要將其轉(zhuǎn)化為原碼再計(jì)算。

補(bǔ)碼

正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其反碼的基礎(chǔ)上加1
[+1]=[0000 0001]原=[0000 0001]反=[0000 0001]補(bǔ)
[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反=[1111 1111]補(bǔ)
同樣，對于負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，人腦是無所直觀得知他的數(shù)值，所以需要將其轉(zhuǎn)化為原碼再計(jì)算。

2.為何要使用原碼，反碼，補(bǔ)碼

首先要求大家要先掌握這三種編碼的計(jì)算方式。
下面我們來關(guān)注負(fù)數(shù)的情況
[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反=[1111 1111]補(bǔ)
既然原碼才是我們直觀最能識別的方式，為什么還要有反碼和補(bǔ)碼？

首先，因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號位，在計(jì)算的時(shí)候，我們會(huì)根據(jù)符號位，選擇對數(shù)值的加減。但對于計(jì)算機(jī)，要讓計(jì)算機(jī)辨別“符號位”顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得非常復(fù)雜，所以人們想出了將符號位也參與運(yùn)算的方法。
我們知道，減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù)，即1-1=1+(-1)=0，所以

計(jì)算機(jī)只有加法沒有減法

，這樣計(jì)算機(jī)的運(yùn)算設(shè)計(jì)就更簡單了。

所以，當(dāng)我們計(jì)算1-1=0時(shí)，如果用原碼的方式來計(jì)算結(jié)果如下：
1-1=1+(-1)=[0000 0001]原+[1000 0001]原=[1000 0010]原=-2

結(jié)論：如果用原碼表示，讓符號位也參與計(jì)算，顯然結(jié)果是不對的，這就是為什么計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù)。

為了解決原碼做減法，反碼出現(xiàn)了

1-1=1+(-1)=[0000 0001]原+[1000 0001]原=[0000 0001]反+[1111 1110]反=[1111 1111]反=[1000 0000]原=-0

發(fā)現(xiàn)使用反碼計(jì)算減法，結(jié)果的數(shù)值是正確的。而現(xiàn)在的問題就出現(xiàn)在“0”這個(gè)特殊的數(shù)值上。雖然人是可以理解+0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的。
所以會(huì)出現(xiàn)[0000 0000]原和[1000 0000]原，兩個(gè)編碼都表示0

為了解決“0”的問題，補(bǔ)碼出現(xiàn)了

1-1=1+(-1)=[0000 0001]原+[1000 0001]原=[0000 0001]反+[1111 1110]反=[0000 0001]補(bǔ)+[1111 1111]補(bǔ)=[0000 0000]補(bǔ)=[0000 0000]原

這樣0就用[0000 0000]表示，而之前的-0則不存在。
那么[1000 0000]表示哪個(gè)數(shù)值，即-128
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1110]反+[1000 0000]反=[1111 1111]補(bǔ) + [1000 0001]補(bǔ) = [1000 0000]補(bǔ)

所以在補(bǔ)碼運(yùn)算中 [1000 0000]補(bǔ)表示-128.
注意，實(shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對-128的補(bǔ)碼表示[1000 0000]補(bǔ)算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0存在兩個(gè)編碼的問題, 而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù). 這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127].

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總結(jié)

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