1.定義

楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。

下圖為楊輝三角部分數據

2.楊輝三角規律

前提：每行端點與結尾的數為1

最重要的規律：

每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等于第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。

C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i?1)

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2.1 楊輝三角與11的冪的關系

假設y=11^n

當n=0時： y=1； 當n=1時： y=11； 當n=2時： y=121； 當n=3時： y=1331； 當n=4時： y=14641； ……

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2.2 楊輝三角與2的冪的關系

假設每一行的和為sum
則sum=2^（行數-1），如下：

第一行：1 1=2^0 第二行：1 1 1+1=2^1 第三行：1 2 1 1+2+1=2^2 第四行：1 3 3 1 1+3+3+1=2^3 第五行：1 4 6 4 1 1+4+6+4+1=2^4 第六行：1 5 10 10 5 1 1+5+10+10+5+1=2^5 ……

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2.3 楊輝三角與二項式定理展開式關系

二項式定理公式

二項式與楊輝三角的對應關系：

二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。

• 用系數通項公式來計算，稱為“式算”；
• 用楊輝三角形來計算，稱作“圖算”

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3. 楊輝三角的應用

最經典的應用是小時候玩的彈球游戲，這種題目類再高中學習概率時，大家肯定都遇到過。

彈球游戲

小球向容器內跌落，碰到第一層擋物后向兩側跌落碰到第二層阻擋物，再向兩側跌落第三層阻擋物，如此一直下跌最終小球落入底層。根據具體地區獲的相應的獎品（AG區獎品最好，BF區獎品次之，CE區獎品第三，D 區獎品差）。

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4. Java代碼實現楊輝三角

4.1 邏輯分析（用數組）：

• 1）既然知道楊輝三角的規律：從第三行開始中間數是上一行斜對角的兩數之和
• 2）那么我只需要想辦法存錯上一行的數據即可，用于計算下一行中間的數值
• 3）因為從第三行才開始出現上述規律，所以我們需要首先要存儲第二行的數據，即k=2 - - k為存儲上一行數據的數組（若為集合就不需要考慮長度變化的問題了）

• 4）每一行的長度都在變化，所以k也需要變化，即k++

• 備注：這里使用的是數組，使用集合會更簡單

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4.2 打印結果為直角三角形時

4.3 實現代碼

package 楊輝三角;/** 目的：Java代碼實現楊輝三角* * 邏輯分析（用數組）：* 1）既然知道楊輝三角的規律：從第三行開始中間數是上一行斜對角的兩數之和* 2）那么我只需要想辦法存錯上一行的數據即可，用于計算下一行中間的數值* 3）因為從第三行才開始出現上述規律，所以我們需要首先要存儲第二行的數據，即k=2----k為存儲上一行數據的數組（若為集合就不需要考慮長度變化的問題了）* 4）每一行的長度都在變化，所以k也需要變化，即k++* * 備注：這里使用的是數組，使用集合會更簡單*/ public class Test1 {public static void main(String[] args) {//1.創建存儲上一行數據的數組tempint k = 2;int[] temp = new int[k];//1.1 因為兩端數均為1，所以給第一個數temp[0]和最后一個數temp[k-1]賦值為1temp[0] = temp[k - 1] = 1;//2.打印楊輝三角//打印的行數--即楊輝三角行數rowCountint rowCount = 12;for (int i = 1; i <= rowCount; i++) {// 建立數組，存取當前行數據int[] arr = new int[i];// 給當前行數組賦值for (int j = 0; j < i; j++) {// 先給第一個和最后一個數賦值if (j == 0 || j == i - 1) {arr[j] = 1;} else {// 中間數為上一行斜對角的兩數之和arr[j] = temp[j - 1] + temp[j];}}// 給當前行賦值完畢后讓k+1，增加數組長度，用于存取當前行的數據k++;temp = new int[k];// 打印當前行數組，并給新temp賦值，便于下一行使用當前行數據for (int y = 0; y < arr.length; y++) {temp[y] = arr[y];System.out.print(arr[y] + " ");}System.out.println();}} }

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4.4 以下內容僅供參考，可以不看

若想打印為等腰三角形，添加一個打印空格效果即可

for(int z=0;z<rowCount-i;z++){System.out.print(" ");}

完整代碼

package 楊輝三角;public class Test1 {public static void main(String[] args) {//1.創建存儲上一行數據的數組tempint k = 2;int[] temp = new int[k];//1.1 因為兩端數均為1，所以給第一個數temp[0]和最后一個數temp[k-1]賦值為1temp[0] = temp[k - 1] = 1;//2.打印楊輝三角//打印的行數--即楊輝三角行數rowCountint rowCount = 8;for (int i = 1; i <= rowCount; i++) {// 建立數組，存取當前行數據int[] arr = new int[i];// 給當前行數組賦值for (int j = 0; j < i; j++) {// 先給第一個和最后一個數賦值if (j == 0 || j == i - 1) {arr[j] = 1;} else {// 中間數為上一行斜對角的兩數之和arr[j] = temp[j - 1] + temp[j];}}// 給當前行賦值完畢后讓k+1，增加數組長度，用于存取當前行的數據k++;temp = new int[k];//打印空格來實現等腰三角形 for(int z=0;z<rowCount-i;z++){System.out.print(" ");}// 打印當前行數組，并給新temp賦值，便于下一行使用當前行數據for (int y = 0; y < arr.length; y++) {temp[y] = arr[y];System.out.print(arr[y] + " ");}System.out.println();}} }

結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法--组合数学：杨辉三角数学分析以及Java实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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