在前兩集漫畫中，我們通過一個算法問題的完整解題過程，講述了動態規劃的基本概念和思想。沒看過前兩集的朋友可以點擊下面的鏈接：

漫畫說算法–動態規劃算法一（絕對通俗易懂，非常棒）
漫畫說算法–動態規劃算法二（絕對通俗易懂，非常棒）

在第二集的末尾，給出了一道動態規劃的進階題目——國王和金礦。讓我們先來回顧一下問題：

有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不同，需要參與挖掘的工人數也不同。參與挖礦工人的總數是10人（第二集說的是1000人，這里改動一下）。每座金礦要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程序求解出，要想得到盡可能多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

下面，繼續我們的故事。

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##方法一：排列組合

每一座金礦都有挖與不挖兩種選擇，如果有N座金礦，排列組合起來就有2^N種選擇。對所有可能性做遍歷，排除那些使用工人數超過10的選擇，在剩下的選擇里找出獲得金幣數最多的選擇。

代碼比較簡單就不展示了，時間復雜度也很明顯，就是O(2^N)。

F(n,w) = 0 (n<=1, w<p[0]);F(n,w) = g[0] (n==1, w>=p[0]);F(n,w) = F(n-1,w) (n>1, w<p[n-1]) F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1]) (n>1, w>=p[n-1])

其中第三條是補充上去的，原因不難理解。

##方法二：簡單遞歸

把狀態轉移方程式翻譯成遞歸程序，遞歸的結束的條件就是方程式當中的邊界。因為每個狀態有兩個最優子結構，所以遞歸的執行流程類似于一顆高度為N的二叉樹。

方法的時間復雜度是O(2^N)。

##方法三：備忘錄算法

在簡單遞歸的基礎上增加一個HashMap備忘錄，用來存儲中間結果。HashMap的Key是一個包含金礦數N和工人數W的對象，Value是最優選擇獲得的黃金數。

方法的時間復雜度和空間復雜度相同，都等同于備忘錄中不同Key的數量。

##方法四：動態規劃

方法利用兩層迭代，來逐步推導出最終結果。在外層的每一次迭代，也就是對表格每一行的迭代過程中，都會保留上一行的結果數組 preResults，并循環計算當前行的結果數組results。

方法的時間復雜度是 O(n * w)，空間復雜度是(w)。需要注意的是，當金礦只有5座的時候，動態規劃的性能優勢還沒有體現出來。當金礦有10座，甚至更多的時候，動態規劃就明顯具備了優勢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的漫画说算法--动态规划算法三（绝对通俗易懂，非常棒）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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