前言

堆是生產(chǎn)中非常重要也很實(shí)用的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，也是面試中比如求 Top K 等問題的非常熱門的考點(diǎn)，本文旨在全面介紹堆的基本操作與其在生產(chǎn)中的主要應(yīng)用，相信大家看了肯定收獲滿滿！

本文將會從以下幾個(gè)方面來講述堆:

• 生產(chǎn)中的常見問題

• 堆的定義

• 堆的基本操作

• 堆排序

• 堆在生產(chǎn)中應(yīng)用

生產(chǎn)中的常見問題

我們在生產(chǎn)中經(jīng)常碰到以下常見的問題：

優(yōu)先級隊(duì)列的應(yīng)用場景很廣，它是如何實(shí)現(xiàn)的呢

如何求 Top K 問題

TP99 是生產(chǎn)中的一個(gè)非常重要的指標(biāo)，如何快速計(jì)算

可能你已經(jīng)猜到了，以上生產(chǎn)上的高頻問題都可以用堆來實(shí)現(xiàn)，所以理解堆及掌握其基本操作十分重要！接下來我們就來一步步地來了解堆及其相關(guān)操作，掌握了堆，上面三個(gè)生產(chǎn)上的高頻問題將不是問題。

堆的定義

堆有以下兩個(gè)特點(diǎn)

堆是一顆完全二叉樹，這樣實(shí)現(xiàn)的堆也被稱為二叉堆

堆中節(jié)點(diǎn)的值都大于等于（或小于等于）其子節(jié)點(diǎn)的值，堆中如果節(jié)點(diǎn)的值都大于等于其子節(jié)點(diǎn)的值，我們把它稱為大頂堆，如果都小于等于其子節(jié)點(diǎn)的值，我們將其稱為小頂堆。

簡單回顧一下什么是完全二叉樹，它的葉子節(jié)點(diǎn)都在最后一層，并且這些葉子節(jié)點(diǎn)都是靠左排序的。

從堆的特點(diǎn)可知，下圖中，1，2 是大頂堆，3 是小頂堆， 4 不是堆（不是完全二叉樹）

從圖中也可以看到，一組數(shù)據(jù)如果表示成大頂堆或小頂堆，可以有不同的表示方式，因?yàn)樗灰蠊?jié)點(diǎn)值大于等于（或小于等于）子節(jié)點(diǎn)值，未規(guī)定左右子節(jié)點(diǎn)的排列方式。

堆的底層是如何表示的呢，從以上堆的介紹中我們知道堆是一顆完全二叉樹，而完全二叉樹可以用數(shù)組表示

如圖示：給完全二叉樹按從上到下從左到右編號，則對于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)來說，很容易得知如果它在數(shù)組中的位置為 i，則它的左右子節(jié)點(diǎn)在數(shù)組中的位置為 2i，2i + 1，通過這種方式可以定位到樹中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而串起整顆樹。

一般對于二叉樹來說每個(gè)節(jié)點(diǎn)是要存儲左右子節(jié)點(diǎn)的指針，而由于完全二叉樹的特點(diǎn)（葉子節(jié)點(diǎn)都在最后一層，并且這些葉子節(jié)點(diǎn)都是靠左排序的），用數(shù)組來表示它再合適不過，用數(shù)組來存儲有啥好處呢，由于不需要存指向左右節(jié)點(diǎn)的指針，在這顆樹很大的情況下能省下很多空間！

堆的基本操作

堆有兩個(gè)基本的操作，構(gòu)建堆（往堆中插入元素）與刪除堆頂元素，我們分別來看看這兩個(gè)操作

• 往堆中插入元素

往堆中插入元素后（如下圖示），我們需要繼續(xù)滿足堆的特性，所以需要不斷調(diào)整元素的位置直到滿足堆的特點(diǎn)為止（堆中節(jié)點(diǎn)的值都大于等于（或小于等于）其子節(jié)點(diǎn)的值）,我們把這種調(diào)整元素以讓其滿足堆特點(diǎn)的過程稱為堆化（heapify）

由于上圖中的堆是個(gè)大頂堆，所以我們需要調(diào)整節(jié)點(diǎn)以讓其符合大頂堆的特點(diǎn)。怎么調(diào)整？不斷比較子節(jié)點(diǎn)與父節(jié)點(diǎn)，如果子節(jié)點(diǎn)大于父節(jié)點(diǎn)，則交換，不斷重復(fù)此過程，直到子節(jié)點(diǎn)小于其父節(jié)點(diǎn)。來看下上圖插入節(jié)點(diǎn) 11 后的堆化過程

這種調(diào)整方式是先把元素插到堆的最后，然后自下而上不斷比較子節(jié)點(diǎn)與父節(jié)點(diǎn)的值，我們稱之為由下而上的堆化。有了以上示意圖，不難寫出插入元素進(jìn)行堆化的代碼：

public?class?Heap?{private?int[]?arr;???????//?堆是完全二叉樹，底層用數(shù)組存儲private?int?capacity;????//?堆中能存儲的最大元素?cái)?shù)量private?int?n;??????????//?當(dāng)前堆中元素?cái)?shù)量public?Heap(int?count)?{capacity?=?count;arr?=?new?int[capacity+1];n?=?0;}public?void?insert(int?value)?{if?(n?>=?capacity)?{//?超過堆大小了，不能再插入元素return;}n++;//?先將元素插入到隊(duì)尾中arr[n]?=?value;int?i?=?n;//?由于我們構(gòu)建的是一個(gè)大頂堆，所以需要不斷調(diào)整以讓其滿足大頂堆的條件while?(i/2?>?0?&&?arr[i]?>?arr[i/2])?{swap(arr,?i,?i/2);i?=?i?/?2;}} }

時(shí)間復(fù)雜度就是樹的高度，所以為 O(logn)。

• 刪除堆頂元素

由于堆的特點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)的值都大于等于（或小于等于）其子節(jié)點(diǎn)的值），所以其根節(jié)點(diǎn)（堆項(xiàng)）要么是所有節(jié)點(diǎn)中最大，要么是所有節(jié)點(diǎn)中最小的，當(dāng)刪除堆頂元素后，也需要調(diào)整子節(jié)點(diǎn)，以讓其滿足堆（大頂堆或小頂堆）的條件。

假設(shè)我們要操作的堆是大頂堆，則刪除堆頂元素后，要找到原堆中第二大的元素以填補(bǔ)堆頂元素，而第二大的元素?zé)o疑是在根節(jié)點(diǎn)的左右子節(jié)點(diǎn)上，假設(shè)是左節(jié)點(diǎn)，則用左節(jié)點(diǎn)填補(bǔ)堆頂元素之后，左節(jié)點(diǎn)空了，此時(shí)需要從左節(jié)點(diǎn)的左右節(jié)點(diǎn)中找到兩者的較大值填補(bǔ)左節(jié)點(diǎn)...，不斷迭代此過程，直到調(diào)整完畢，調(diào)整過程如下圖示：

但是這么調(diào)整后，問題來了，如上圖所示，在最終調(diào)整后的堆中，出現(xiàn)了數(shù)組空洞，對應(yīng)的數(shù)組如下

怎么解決？我們可以用最后一個(gè)元素覆蓋堆頂元素，然后再自上而下地調(diào)整堆，讓其滿足大頂堆的要求，這樣即可解決數(shù)組空洞的問題。

看了以上示意圖，代碼實(shí)現(xiàn)應(yīng)該比較簡單，如下：

/***?移除堆頂元素*/ public?void?removeTopElement()?{if?(n?==?0)?{//?堆中如果沒有元素，也就是不存在移除堆頂元素的情況了return;}int?count?=?n;arr[1]?=?arr[count];--count;heapify(1,?count); }/***?自上而下堆化以滿足大頂堆的條件*/ public?void?heapify(int?index,?int?n)?{while?(true)?{int?maxValueIndex?=?index;if?(2?*?index?<=?n?&&?arr[index]?<?arr[2?*?index])?{//?左節(jié)點(diǎn)比其父節(jié)點(diǎn)大maxValueIndex?=?2?*?index;}if?(2?*?index?+?1?<=?n?&&?arr[maxValueIndex]?<?arr[2?*?index?+?1])?{//?右節(jié)點(diǎn)比左節(jié)點(diǎn)或父節(jié)點(diǎn)大maxValueIndex?=?2?*?index?+?1;}if?(maxValueIndex?==?index)?{//?說明當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值為最大值，無需再往下迭代了break;}swap(arr,?index,?maxValueIndex);index?=?maxValueIndex;} }/***?交換數(shù)組第?i?和第?j?個(gè)元素*/ public?static?void?swap(int[]?arr,?int?i,?int?j) {int?temp?=?arr[i];arr[i]?=?arr[j];arr[j]?=?temp; }

時(shí)間復(fù)雜度和插入堆中元素一樣，也是樹的高度，所以為 O(logn)。

堆排序

用堆怎么實(shí)現(xiàn)排序？我們知道在大頂堆中，根節(jié)點(diǎn)是所有節(jié)點(diǎn)中最大的，于是我們有如下思路：

假設(shè)待排序元素個(gè)數(shù)為 n（假設(shè)其存在數(shù)組中），對這組數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)大頂堆，刪除大頂堆的元素（將其與數(shù)組的最后一個(gè)元素進(jìn)行交換），再對剩余的 n-1 個(gè)元素構(gòu)建大頂堆，再將堆頂元素刪除（將其與數(shù)組的倒數(shù)第二個(gè)元素交換），再對剩余的 n-2 個(gè)元素構(gòu)建大頂堆...，不斷重復(fù)此過程，這樣最終得到的排序一定是從小到大排列的，堆排序過程如下圖所示：

從以上的步驟中可以看到，重要的步驟就兩步，建堆（堆化，構(gòu)建大頂堆）與排序。

先看下怎么建堆，其實(shí)在上一節(jié)中我們已經(jīng)埋下了伏筆，上一節(jié)我們簡單介紹了堆的基本操作，插入和刪除，所以我們可以新建一個(gè)數(shù)組，遍歷待排序的元素，每遍歷一個(gè)元素，就調(diào)用上一節(jié)我們定義的 insert(int value) 方法，這個(gè)方法在插入元素到堆的同時(shí)也會堆化調(diào)整堆為大頂堆，遍歷完元素后，最終生成的堆一定是大頂堆。

用這種方式生成的大頂堆空間復(fù)雜度是多少呢，由于我們新建了一個(gè)數(shù)組，所以空間復(fù)雜度是 O(n)，但其實(shí)堆排序是原地排序的（不需要任何額外空間），所以我們重點(diǎn)看下如何在不需要額外空間的情況下生成大頂堆。

其實(shí)思路很簡單，對于所有非葉子節(jié)點(diǎn)，自上而下不斷調(diào)整使其滿足大頂堆的條件（每個(gè)節(jié)點(diǎn)值都大于等于其左右節(jié)點(diǎn)的值）即可，遍歷到最后得到的堆一定是大頂堆！同時(shí)調(diào)整堆的過程中只是不斷交換數(shù)組里的元素，沒有用到額外的存儲空間。

那么非葉子節(jié)點(diǎn)的范圍是多少呢，假設(shè)數(shù)組元素為 n，則數(shù)組下標(biāo)為 1 到 n / 2 的元素是非葉子節(jié)點(diǎn)。下標(biāo) n / 2 + 1 到 n 的元素是葉子節(jié)點(diǎn)。

畫外音：假設(shè)下標(biāo) n/2+1 的節(jié)點(diǎn)不是葉子節(jié)點(diǎn)，則其左子節(jié)點(diǎn)下標(biāo)為 (n/2 + 1) * 2 = n + 2，超過了數(shù)組元素 n，顯然不符合邏輯，由此可以證明 ?n / 2 + 1 開始的元素一定是葉子節(jié)點(diǎn)

示意圖如下：

如圖示：對每個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)自上而下調(diào)整后，最終得到大頂堆。

有了以上思路，不難寫出如下代碼:

/** *?對 1 妻 n/2 的非葉子節(jié)點(diǎn)自上而下進(jìn)行堆化，以構(gòu)建大頂堆*/ public?void?buildHeap()?{for?(int?i?=?n/2;?i?>?0;?i--)?{heapify(i);} }

這樣建堆的時(shí)間復(fù)雜度是多少呢，我們知道對每個(gè)元素進(jìn)行堆化時(shí)間復(fù)雜度是 O(log n),那么對 1 到 n/2 個(gè)元素進(jìn)行堆化，則總的時(shí)間復(fù)雜度顯然是 O(n log n)（實(shí)際上如果詳細(xì)推導(dǎo)，時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)，這里不作展開，有興趣的同學(xué)建議查一下資料看下 O(n) 是怎么來的）。

知道怎么建堆，接下來排序就簡單了，對 n 個(gè)元素來說，只要移除堆頂元素（將其與最后一個(gè)元素交換），再對之前的 n-1 個(gè)元素堆化，再移除堆頂元素（將其與倒數(shù)第二個(gè)元素交換）...，不斷重復(fù)此過程即可，代碼如下:

/***?堆排序*/ public?void?heapsort()?{//?建堆buildHeap();int?i?=?n;while?(true)?{if?(i?<=?1)?{break;}//?將堆頂元素放到第?i?個(gè)位置swap(arr,?1,?i);i--;//?重新對?1?到?i?的元素進(jìn)行堆化，以讓其符合大頂堆的條件heapify(1,?i);} }

時(shí)間復(fù)雜度上文已經(jīng)分析過了，就是 O(n log n)，居然和快排一樣快！但堆排序?qū)嶋H在生產(chǎn)中用得并不是很多，Java 默認(rèn)的數(shù)組排序（Arrays.sort()）底層也是用的快排，時(shí)間復(fù)雜度和快排一樣快，為啥堆排序卻并不受待見呢。主要有以下兩個(gè)原因

1、 快排在遞歸排序的過程中，都是拿 pivot 與相鄰的元素比較，會用到計(jì)算機(jī)中一個(gè)非常重要的定理：局部性原理，啥叫局部性原理，可以簡單理解為當(dāng) CPU 讀取到某個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候，它認(rèn)為這個(gè)數(shù)據(jù)附近相鄰的數(shù)據(jù)也有很大的概率會被用到，所以干脆把被讀取到數(shù)據(jù)的附近的數(shù)據(jù)也一起加載到 Cache 中，這樣下次還需要再讀取數(shù)據(jù)進(jìn)行操作時(shí)，就直接從 Cache 里拿數(shù)據(jù)即可（無需再從內(nèi)存里拿了），數(shù)據(jù)量大的話，極大地提升了性能。堆排序無法利用局部性原理，為啥呢，我們知道在堆化的過程中，需要不斷比較節(jié)點(diǎn)與其左右子節(jié)點(diǎn)的大小，左右子節(jié)點(diǎn)也需要比較其左右節(jié)點(diǎn)。。。

如圖示：在對節(jié)點(diǎn) 2 自上而下的堆化中，其要遍歷數(shù)組中 4，5，9，10... 中的元素，這些元素并不是相鄰元素，無法利用到局部性原理來提升性能

2、我們知道堆排序的一個(gè)重要步驟是把堆頂元素移除，重新進(jìn)行堆化，每次堆化都會導(dǎo)致大量的元素比較，這也是堆排序性能較差的一個(gè)原因。

3、堆排序不是穩(wěn)定排序，因?yàn)槲覀冎涝诙鸦_始前要先把首位和末位元素進(jìn)行交換，如果這兩元素值一樣，就可能改變他們原來在數(shù)組中的相對順序，而快排雖然也是不穩(wěn)定排序，不過可以改進(jìn)成穩(wěn)定排序，這一點(diǎn)也是快排優(yōu)于堆排序的一個(gè)重要的點(diǎn)。

堆在生產(chǎn)中應(yīng)用

堆排序雖然不常用，但堆在生產(chǎn)中的應(yīng)用還是很多的，這里我們詳細(xì)來看堆在生產(chǎn)中的幾個(gè)重要應(yīng)用

1、 優(yōu)先級隊(duì)列

我們知道隊(duì)列都是先進(jìn)先出的，而在優(yōu)先級隊(duì)列中，元素被賦予了權(quán)重的概念，權(quán)重高的元素優(yōu)先執(zhí)行，執(zhí)行完之后下次再執(zhí)行權(quán)重第二高的元素...，顯然用堆來實(shí)現(xiàn)優(yōu)先級隊(duì)列再合適不過了，只要用一個(gè)大頂堆來實(shí)現(xiàn)優(yōu)先級隊(duì)列即可，當(dāng)權(quán)重最高的隊(duì)列執(zhí)行完畢，將其移除（相當(dāng)于刪除堆頂），再選出優(yōu)先級第二高的元素（堆化讓其符合大頂堆 的條件），很方便，實(shí)際上我們查看源碼就知道， Java 中優(yōu)先級隊(duì)列 ?PriorityQueue 就是用堆來實(shí)現(xiàn)的。

2、 求 TopK 問題

怎樣求出 n 個(gè)元素中前 K 個(gè)最大/最小的元素呢。假設(shè)我們要求前 K 個(gè)最大的元素，我們可以按如下步驟來做

取 n 個(gè)元素的前 K 個(gè)元素構(gòu)建一個(gè)小頂堆

遍歷第 K + 1 到 ?n 之間的元素，每一個(gè)元素都與小頂堆的堆頂元素進(jìn)行比較，如果小于堆頂元素，不做任何操作，如果大于堆頂元素，則將堆頂元素替換成當(dāng)前遍歷的元素，再堆化以讓其滿足小頂?shù)囊?#xff0c;這樣遍歷完成后此小頂堆的所有元素就是我們要求的 TopK。

每個(gè)元素堆化的時(shí)間復(fù)雜度是 O(logK)，n 個(gè)元素時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlogK)，還是相當(dāng)給力的！

3、 TP99 是生產(chǎn)中的一個(gè)非常重要的指標(biāo)，如何快速計(jì)算

先來解釋下什么是 TP99，它指的是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)（如5分鐘），統(tǒng)計(jì)某個(gè)接口（或方法）每次調(diào)用所消耗的時(shí)間，并將這些時(shí)間按從小到大的順序進(jìn)行排序，取第99%的那個(gè)值作為 TP99 值，舉個(gè)例子， 假設(shè)這個(gè)方法在 5 分鐘內(nèi)調(diào)用消耗時(shí)間為從 1 s 到 100 s 共 100 個(gè)數(shù)，則其 TP99 為 99，這個(gè)值為啥重要呢，對于某個(gè)接口來說，這個(gè)值越低，代表 99% 的請求都是非常快的，說明這個(gè)接口性能很好，反之，就說明這個(gè)接口需要改進(jìn)，那怎么去求這個(gè)值呢？

思路如下：

創(chuàng)建一個(gè)大頂堆和一個(gè)小頂堆，大頂堆的堆頂元素比小頂堆的堆頂元素更小，大頂堆維護(hù) 99% 的請求時(shí)間，小頂堆維護(hù) 1% 的請求時(shí)間

每產(chǎn)生一個(gè)元素（請求時(shí)間），如果它比大頂堆的堆頂元素小，則將其放入到大頂堆中，如果它比小頂堆的堆頂元素大，則將其插入到小頂堆中，插入后當(dāng)然要堆化以讓其符合大小頂堆的要求。

上一步在插入的過程中需要注意一下，可能會導(dǎo)致大頂堆和小頂堆中元素的比例不為 99:1，此時(shí)就要做相應(yīng)的調(diào)整，如果在將元素插入大頂堆之后，發(fā)現(xiàn)比例大于 99：1，將需將大頂堆的堆頂元素移到小頂堆中，再對兩個(gè)堆堆化以讓其符合大小頂堆的要求，同理，如果發(fā)現(xiàn)比例小于 99: 1，則需要將小頂堆的堆頂元素移到大頂堆來，再對兩者進(jìn)行堆化。

以上的大小頂堆調(diào)整后，則大頂堆的堆頂元素值就是所要求的 TP99 值。

有人可能會說以上的這些應(yīng)用貌似用快排或其他排序也能實(shí)現(xiàn)，沒錯(cuò)，確實(shí)能實(shí)現(xiàn)，但是我們需要注意到，在靜態(tài)數(shù)據(jù)下用快排確實(shí)沒問題，但在動態(tài)數(shù)據(jù)上，如果每插入/刪除一個(gè)元素對所有的元素進(jìn)行快排，其實(shí)效率不是很高，由于要快排要全量排序，時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlog n)，而堆排序就非常適合這種對于動態(tài)數(shù)據(jù)的排序,對于每個(gè)新添加的動態(tài)數(shù)據(jù)，將其插入到堆中，然后進(jìn)行堆化，時(shí)間復(fù)雜度只有 O(logK)

總結(jié)

堆是一種非常重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在對動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序時(shí)性能很高，優(yōu)先級隊(duì)列底層也是普遍采用堆來管理，所以掌握堆的基本操作十分重要。另外我們也知道了 Java 的優(yōu)先級隊(duì)列（PriorityQueue）也是用堆來實(shí)現(xiàn)的，所以再次說明了掌握基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)非常重要，對于理解上層應(yīng)用的底層實(shí)現(xiàn)十分有幫助！

最后，歡迎大家關(guān)注公號哦。之后將會講解大量算法解題思路，希望我們一起攻克算法難題！

本人在這幾年及春招的總結(jié)，歷時(shí)3個(gè)月，我覺得很全面了，對于面試很有幫助，目前，本人已經(jīng)拿到了騰訊等大廠offer，進(jìn)入到大廠不是夢想，github 地址:

https://github.com/OUYANGSIHAI/JavaInterview

這么辛苦總結(jié)，給個(gè)star好不好。?點(diǎn)擊閱讀原文，直達(dá)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的拜托，别再问我什么是堆了!的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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