这篇文章带你彻底理解红黑树
寫在前面
當(dāng)在10億數(shù)據(jù)進(jìn)行不到30次比較就能查找到目標(biāo)時(shí)，不禁感嘆編程之魅力！人類之偉大呀！ —— 學(xué)紅黑樹有感。
終于，在學(xué)習(xí)了幾天的紅黑樹相關(guān)的知識(shí)后，我想把我所學(xué)所想和所感分享給大家。紅黑樹是一種比較難的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，要完全搞懂非常耗時(shí)耗力，紅黑樹怎么自平衡？什么時(shí)候需要左旋或右旋？插入和刪除破壞了樹的平衡后怎么處理？等等一連串的問題在學(xué)習(xí)前困擾著我。如果你在學(xué)習(xí)過程中也會(huì)存在我的疑問，那么本文對(duì)你會(huì)有幫助，本文幫助你全面、徹底地理解紅黑樹！
本文將通過圖文的方式講解紅黑樹的知識(shí)點(diǎn)，并且不會(huì)涉及到任何代碼，相信我，在懂得紅黑樹實(shí)現(xiàn)原理前，看代碼會(huì)一頭霧水的，當(dāng)原理懂了，代碼也就按部就班寫而已，沒任何難度。
閱讀本文你需具備知識(shí)點(diǎn)：
- 二叉查找樹
- 完美平衡二叉樹
事不宜遲，讓我們進(jìn)入正題吧。
正文
紅黑樹也是二叉查找樹，我們知道，二叉查找樹這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)并不難，而紅黑樹之所以難是難在它是自平衡的二叉查找樹，在進(jìn)行插入和刪除等可能會(huì)破壞樹的平衡的操作時(shí)，需要重新自處理達(dá)到平衡狀態(tài)?，F(xiàn)在在腦海想下怎么實(shí)現(xiàn)？是不是太多情景需要考慮了？嘖嘖，先別急，通過本文的學(xué)習(xí)后，你會(huì)覺得，其實(shí)也不過如此而已。好吧，我們先來(lái)看下紅黑樹的定義和一些基本性質(zhì)。
紅黑樹定義和性質(zhì)
紅黑樹是一種含有紅黑結(jié)點(diǎn)并能自平衡的二叉查找樹。它必須滿足下面性質(zhì)：
- 性質(zhì)1：每個(gè)節(jié)點(diǎn)要么是黑色，要么是紅色。
- 性質(zhì)2：根節(jié)點(diǎn)是黑色。
- 性質(zhì)3：每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)（NIL）是黑色。
- 性質(zhì)4：每個(gè)紅色結(jié)點(diǎn)的兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)一定都是黑色。
- 性質(zhì)5：任意一結(jié)點(diǎn)到每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑都包含數(shù)量相同的黑結(jié)點(diǎn)。
從性質(zhì)5又可以推出：
- 性質(zhì)5.1：如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)存在黑子結(jié)點(diǎn)，那么該結(jié)點(diǎn)肯定有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)
圖1就是一顆簡(jiǎn)單的紅黑樹。其中Nil為葉子結(jié)點(diǎn)(2020/01/16補(bǔ)充：圖1中的紅色結(jié)點(diǎn)H和M同樣存在葉子子結(jié)點(diǎn)，后文的圖類似，不再闡明。感謝評(píng)論區(qū)的同學(xué)提醒，帶來(lái)誤解抱歉。)，并且它是黑色的。(值得提醒注意的是，在Java中，葉子結(jié)點(diǎn)是為null的結(jié)點(diǎn)。)
圖1 一顆簡(jiǎn)單的紅黑樹
紅黑樹并不是一個(gè)_完美_平衡二叉查找樹，從圖1可以看到，根結(jié)點(diǎn)P的左子樹顯然比右子樹高，但左子樹和右子樹的黑結(jié)點(diǎn)的層數(shù)是相等的，也即任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)到到每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑都包含數(shù)量相同的黑結(jié)點(diǎn)(性質(zhì)5)。所以我們叫紅黑樹這種平衡為黑色完美平衡。
介紹到此，為了后面講解不至于混淆，我們還需要來(lái)約定下紅黑樹一些結(jié)點(diǎn)的叫法，如圖2所示。
圖2 結(jié)點(diǎn)叫法約定
我們把正在處理(遍歷)的結(jié)點(diǎn)叫做當(dāng)前結(jié)點(diǎn)，如圖2中的D，它的父親叫做父結(jié)點(diǎn)，它的父親的另外一個(gè)子結(jié)點(diǎn)叫做兄弟結(jié)點(diǎn)，父親的父親叫做祖父結(jié)點(diǎn)。
前面講到紅黑樹能自平衡，它靠的是什么？三種操作：左旋、右旋和變色。
- 左旋：以某個(gè)結(jié)點(diǎn)作為支點(diǎn)(旋轉(zhuǎn)結(jié)點(diǎn))，其右子結(jié)點(diǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)，右子結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)，左子結(jié)點(diǎn)保持不變。如圖3。
- 右旋：以某個(gè)結(jié)點(diǎn)作為支點(diǎn)(旋轉(zhuǎn)結(jié)點(diǎn))，其左子結(jié)點(diǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)，左子結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)，右子結(jié)點(diǎn)保持不變。如圖4。
- 變色：結(jié)點(diǎn)的顏色由紅變黑或由黑變紅。
圖3 左旋
圖4 右旋
上面所說(shuō)的旋轉(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)也即旋轉(zhuǎn)的支點(diǎn)，圖4和圖5中的P結(jié)點(diǎn)。
我們先忽略顏色，可以看到旋轉(zhuǎn)操作不會(huì)影響旋轉(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)，父結(jié)點(diǎn)以上的結(jié)構(gòu)還是保持不變的。
左旋只影響旋轉(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)和其右子樹的結(jié)構(gòu)，把右子樹的結(jié)點(diǎn)往左子樹挪了。
右旋只影響旋轉(zhuǎn)結(jié)點(diǎn)和其左子樹的結(jié)構(gòu)，把左子樹的結(jié)點(diǎn)往右子樹挪了。
所以旋轉(zhuǎn)操作是局部的。另外可以看出旋轉(zhuǎn)能保持紅黑樹平衡的一些端詳了：當(dāng)一邊子樹的結(jié)點(diǎn)少了，那么向另外一邊子樹“借”一些結(jié)點(diǎn)；當(dāng)一邊子樹的結(jié)點(diǎn)多了，那么向另外一邊子樹“租”一些結(jié)點(diǎn)。
但要保持紅黑樹的性質(zhì)，結(jié)點(diǎn)不能亂挪，還得靠變色了。怎么變？具體情景又不同變法，后面會(huì)具體講到，現(xiàn)在只需要記住紅黑樹總是通過旋轉(zhuǎn)和變色達(dá)到自平衡。
balabala了這么多，相信你對(duì)紅黑樹有一定印象了，那么現(xiàn)在來(lái)考考你：
思考題1：黑結(jié)點(diǎn)可以同時(shí)包含一個(gè)紅子結(jié)點(diǎn)和一個(gè)黑子結(jié)點(diǎn)嗎？ (答案見文末)
接下來(lái)先講解紅黑樹的查找熱熱身。
紅黑樹查找
因?yàn)榧t黑樹是一顆二叉平衡樹，并且查找不會(huì)破壞樹的平衡，所以查找跟二叉平衡樹的查找無(wú)異：
如圖5所示。
圖5 二叉樹查找流程圖
非常簡(jiǎn)單，但簡(jiǎn)單不代表它效率不好。正由于紅黑樹總保持黑色完美平衡，所以它的查找最壞時(shí)間復(fù)雜度為O(2lgN)，也即整顆樹剛好紅黑相隔的時(shí)候。能有這么好的查找效率得益于紅黑樹自平衡的特性，而這背后的付出，紅黑樹的插入操作功不可沒～
紅黑樹插入
插入操作包括兩部分工作：一查找插入的位置；二插入后自平衡。查找插入的父結(jié)點(diǎn)很簡(jiǎn)單，跟查找操作區(qū)別不大：
如圖6所示。
圖6 紅黑樹插入位置查找
ok，插入位置已經(jīng)找到，把插入結(jié)點(diǎn)放到正確的位置就可以啦，但插入結(jié)點(diǎn)是應(yīng)該是什么顏色呢？答案是紅色。理由很簡(jiǎn)單，紅色在父結(jié)點(diǎn)（如果存在）為黑色結(jié)點(diǎn)時(shí)，紅黑樹的黑色平衡沒被破壞，不需要做自平衡操作。但如果插入結(jié)點(diǎn)是黑色，那么插入位置所在的子樹黑色結(jié)點(diǎn)總是多1，必須做自平衡。
所有插入情景如圖7所示。
圖7 紅黑樹插入情景
嗯，插入情景很多呢，8種插入情景！但情景1、2和3的處理很簡(jiǎn)單，而情景4.2和情景4.3只是方向反轉(zhuǎn)而已，懂得了一種情景就能推出另外一種情景，所以總體來(lái)看，并不復(fù)雜，后續(xù)我們將一個(gè)一個(gè)情景來(lái)看，把它徹底搞懂。
另外，根據(jù)二叉樹的性質(zhì)，除了情景2，所有插入操作都是在葉子結(jié)點(diǎn)進(jìn)行的。這點(diǎn)應(yīng)該不難理解，因?yàn)椴檎也迦胛恢脮r(shí)，我們就是在找子結(jié)點(diǎn)為空的父結(jié)點(diǎn)的。
在開始每個(gè)情景的講解前，我們還是先來(lái)約定下，如圖8所示。
圖8 插入操作結(jié)點(diǎn)的叫法約定
圖8的字母并不代表結(jié)點(diǎn)Key的大小。I表示插入結(jié)點(diǎn)，P表示插入結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)，S表示插入結(jié)點(diǎn)的叔叔結(jié)點(diǎn)，PP表示插入結(jié)點(diǎn)的祖父結(jié)點(diǎn)。
好了，下面讓我們一個(gè)一個(gè)來(lái)分析每個(gè)插入的情景以其處理。
插入情景1：紅黑樹為空樹
最簡(jiǎn)單的一種情景，直接把插入結(jié)點(diǎn)作為根結(jié)點(diǎn)就行，但注意，根據(jù)紅黑樹性質(zhì)2：根節(jié)點(diǎn)是黑色。還需要把插入結(jié)點(diǎn)設(shè)為黑色。
處理：把插入結(jié)點(diǎn)作為根結(jié)點(diǎn)，并把結(jié)點(diǎn)設(shè)置為黑色。
插入情景2：插入結(jié)點(diǎn)的Key已存在
插入結(jié)點(diǎn)的Key已存在，既然紅黑樹總保持平衡，在插入前紅黑樹已經(jīng)是平衡的，那么把插入結(jié)點(diǎn)設(shè)置為將要替代結(jié)點(diǎn)的顏色，再把結(jié)點(diǎn)的值更新就完成插入。
處理：
- 把I設(shè)為當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的顏色
- 更新當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的值為插入結(jié)點(diǎn)的值
插入情景3：插入結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn)
由于插入的結(jié)點(diǎn)是紅色的，并不會(huì)影響紅黑樹的平衡，直接插入即可，無(wú)需做自平衡。
處理：直接插入。
插入情景4：插入結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)為紅結(jié)點(diǎn)
再次回想下紅黑樹的性質(zhì)2：根結(jié)點(diǎn)是黑色。如果插入的父結(jié)點(diǎn)為紅結(jié)點(diǎn)，那么該父結(jié)點(diǎn)不可能為根結(jié)點(diǎn)，所以插入結(jié)點(diǎn)總是存在祖父結(jié)點(diǎn)。這點(diǎn)很重要，因?yàn)楹罄m(xù)的旋轉(zhuǎn)操作肯定需要祖父結(jié)點(diǎn)的參與。
情景4又分為很多子情景，下面將進(jìn)入重點(diǎn)部分，各位看官請(qǐng)留神了。
插入情景4.1：叔叔結(jié)點(diǎn)存在并且為紅結(jié)點(diǎn)
從紅黑樹性質(zhì)4可以，祖父結(jié)點(diǎn)肯定為黑結(jié)點(diǎn)，因?yàn)椴豢梢酝瑫r(shí)存在兩個(gè)相連的紅結(jié)點(diǎn)。那么此時(shí)該插入子樹的紅黑層數(shù)的情況是：黑紅紅。顯然最簡(jiǎn)單的處理方式是把其改為：紅黑紅。如圖9和圖10所示。
處理：
- 將P和S設(shè)置為黑色
- 將PP設(shè)置為紅色
- 把PP設(shè)置為當(dāng)前插入結(jié)點(diǎn)
圖9 插入情景4.1_1
圖10 插入情景4.1_2
可以看到，我們把PP結(jié)點(diǎn)設(shè)為紅色了，如果PP的父結(jié)點(diǎn)是黑色，那么無(wú)需再做任何處理；但如果PP的父結(jié)點(diǎn)是紅色，根據(jù)性質(zhì)4，此時(shí)紅黑樹已不平衡了，所以還需要把PP當(dāng)作新的插入結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)做插入操作自平衡處理，直到平衡為止。
試想下PP剛好為根結(jié)點(diǎn)時(shí)，那么根據(jù)性質(zhì)2，我們必須把PP重新設(shè)為黑色，那么樹的紅黑結(jié)構(gòu)變?yōu)?#xff1a;黑黑紅。換句話說(shuō)，從根結(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)的路徑中，黑色結(jié)點(diǎn)增加了。這也是唯一一種會(huì)增加紅黑樹黑色結(jié)點(diǎn)層數(shù)的插入情景。
我們還可以總結(jié)出另外一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：紅黑樹的生長(zhǎng)是自底向上的。這點(diǎn)不同于普通的二叉查找樹，普通的二叉查找樹的生長(zhǎng)是自頂向下的。
插入情景4.2：叔叔結(jié)點(diǎn)不存在或?yàn)楹诮Y(jié)點(diǎn)，并且插入結(jié)點(diǎn)的父親結(jié)點(diǎn)是祖父結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)
單純從插入前來(lái)看，也即不算情景4.1自底向上處理時(shí)的情況，叔叔結(jié)點(diǎn)非紅即為葉子結(jié)點(diǎn)(Nil)。因?yàn)槿绻迨褰Y(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn)，而父結(jié)點(diǎn)為紅結(jié)點(diǎn)，那么叔叔結(jié)點(diǎn)所在的子樹的黑色結(jié)點(diǎn)就比父結(jié)點(diǎn)所在子樹的多了，這不滿足紅黑樹的性質(zhì)5。后續(xù)情景同樣如此，不再多做說(shuō)明了。
前文說(shuō)了，需要旋轉(zhuǎn)操作時(shí)，肯定一邊子樹的結(jié)點(diǎn)多了或少了，需要租或借給另一邊。插入顯然是多的情況，那么把多的結(jié)點(diǎn)租給另一邊子樹就可以了。
插入情景4.2.1：插入結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)
處理：
- 將P設(shè)為黑色
- 將PP設(shè)為紅色
- 對(duì)PP進(jìn)行右旋
圖11 插入情景4.2.1
由圖11可得，左邊兩個(gè)紅結(jié)點(diǎn)，右邊不存在，那么一邊一個(gè)剛剛好，并且因?yàn)闉榧t色，肯定不會(huì)破壞樹的平衡。
咦，可以把P設(shè)為紅色，I和PP設(shè)為黑色嗎？答案是可以！看過《算法：第4版》的同學(xué)可能知道，書中講解的就是把P設(shè)為紅色，I和PP設(shè)為黑色。但把P設(shè)為紅色，顯然又會(huì)出現(xiàn)情景4.1的情況，需要自底向上處理，做多了無(wú)謂的操作，既然能自己消化就不要麻煩祖輩們啦～
插入情景4.2.2：插入結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)
這種情景顯然可以轉(zhuǎn)換為情景4.2.1，如圖12所示，不做過多說(shuō)明了。
處理：
- 對(duì)P進(jìn)行左旋
- 把P設(shè)置為插入結(jié)點(diǎn)，得到情景4.2.1
- 進(jìn)行情景4.2.1的處理
圖12 插入情景4.2.2
插入情景4.3：叔叔結(jié)點(diǎn)不存在或?yàn)楹诮Y(jié)點(diǎn)，并且插入結(jié)點(diǎn)的父親結(jié)點(diǎn)是祖父結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)
該情景對(duì)應(yīng)情景4.2，只是方向反轉(zhuǎn)，不做過多說(shuō)明了，直接看圖。
插入情景4.3.1：插入結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)
處理：
- 將P設(shè)為黑色
- 將PP設(shè)為紅色
- 對(duì)PP進(jìn)行左旋
圖13 插入情景4.3.1
插入情景4.3.2：插入結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)
處理：
- 對(duì)P進(jìn)行右旋
- 把P設(shè)置為插入結(jié)點(diǎn)，得到情景4.3.1
- 進(jìn)行情景4.3.1的處理
圖14 插入情景4.3.2
好了，講完插入的所有情景了。可能又同學(xué)會(huì)想：上面的情景舉例的都是第一次插入而不包含自底向上處理的情況，那么上面所說(shuō)的情景都適合自底向上的情況嗎？答案是肯定的。理由很簡(jiǎn)單，但每棵子樹都能自平衡，那么整棵樹最終總是平衡的。好吧，在出個(gè)習(xí)題，請(qǐng)大家拿出筆和紙畫下試試（請(qǐng)務(wù)必動(dòng)手畫下，加深印象）：
習(xí)題1：請(qǐng)畫出圖15的插入自平衡處理過程。（答案見文末）
圖15 習(xí)題1
紅黑樹刪除
紅黑樹插入已經(jīng)夠復(fù)雜了，但刪除更復(fù)雜，也是紅黑樹最復(fù)雜的操作了。但穩(wěn)住，勝利的曙光就在前面了！
紅黑樹的刪除操作也包括兩部分工作：一查找目標(biāo)結(jié)點(diǎn)；而刪除后自平衡。查找目標(biāo)結(jié)點(diǎn)顯然可以復(fù)用查找操作，當(dāng)不存在目標(biāo)結(jié)點(diǎn)時(shí)，忽略本次操作；當(dāng)存在目標(biāo)結(jié)點(diǎn)時(shí)，刪除后就得做自平衡處理了。刪除了結(jié)點(diǎn)后我們還需要找結(jié)點(diǎn)來(lái)替代刪除結(jié)點(diǎn)的位置，不然子樹跟父輩結(jié)點(diǎn)斷開了，除非刪除結(jié)點(diǎn)剛好沒子結(jié)點(diǎn)，那么就不需要替代。
二叉樹刪除結(jié)點(diǎn)找替代結(jié)點(diǎn)有3種情情景：
- 情景1：若刪除結(jié)點(diǎn)無(wú)子結(jié)點(diǎn)，直接刪除
- 情景2：若刪除結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)子結(jié)點(diǎn)，用子結(jié)點(diǎn)替換刪除結(jié)點(diǎn)
- 情景3：若刪除結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)，用后繼結(jié)點(diǎn)（大于刪除結(jié)點(diǎn)的最小結(jié)點(diǎn)）替換刪除結(jié)點(diǎn)
補(bǔ)充說(shuō)明下，情景3的后繼結(jié)點(diǎn)是大于刪除結(jié)點(diǎn)的最小結(jié)點(diǎn)，也是刪除結(jié)點(diǎn)的右子樹種最左結(jié)點(diǎn)。那么可以拿前繼結(jié)點(diǎn)（刪除結(jié)點(diǎn)的左子樹最右結(jié)點(diǎn)）替代嗎？可以的。但習(xí)慣上大多都是拿后繼結(jié)點(diǎn)來(lái)替代，后文的講解也是用后繼結(jié)點(diǎn)來(lái)替代。另外告訴大家一種找前繼和后繼結(jié)點(diǎn)的直觀的方法（不知為何沒人提過，大家都知道？）：把二叉樹所有結(jié)點(diǎn)投射在X軸上，所有結(jié)點(diǎn)都是從左到右排好序的，所有目標(biāo)結(jié)點(diǎn)的前后結(jié)點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)前繼和后繼結(jié)點(diǎn)。如圖16所示。
圖16 二叉樹投射x軸后有序
接下來(lái)，講一個(gè)重要的思路：**刪除結(jié)點(diǎn)被替代后，在不考慮結(jié)點(diǎn)的鍵值的情況下，對(duì)于樹來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為刪除的是替代結(jié)點(diǎn)！**話很蒼白，我們看圖17。在不看鍵值對(duì)的情況下，圖17的紅黑樹最終結(jié)果是刪除了Q所在位置的結(jié)點(diǎn)！這種思路非常重要，大大簡(jiǎn)化了后文講解紅黑樹刪除的情景！
圖17 刪除結(jié)點(diǎn)換位思路
基于此，上面所說(shuō)的3種二叉樹的刪除情景可以相互轉(zhuǎn)換并且最終都是轉(zhuǎn)換為情景1！
- 情景2：刪除結(jié)點(diǎn)用其唯一的子結(jié)點(diǎn)替換，子結(jié)點(diǎn)替換為刪除結(jié)點(diǎn)后，可以認(rèn)為刪除的是子結(jié)點(diǎn)，若子結(jié)點(diǎn)又有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)，那么相當(dāng)于轉(zhuǎn)換為情景3，一直自頂向下轉(zhuǎn)換，總是能轉(zhuǎn)換為情景1。（對(duì)于紅黑樹來(lái)說(shuō)，根據(jù)性質(zhì)5.1，只存在一個(gè)子結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)肯定在樹末了）
- 情景3：刪除結(jié)點(diǎn)用后繼結(jié)點(diǎn)（肯定不存在左結(jié)點(diǎn)），如果后繼結(jié)點(diǎn)有右子結(jié)點(diǎn)，那么相當(dāng)于轉(zhuǎn)換為情景2，否則轉(zhuǎn)為為情景1。
二叉樹刪除結(jié)點(diǎn)情景關(guān)系圖如圖18所示。
圖18 二叉樹刪除情景轉(zhuǎn)換
綜上所述，**刪除操作刪除的結(jié)點(diǎn)可以看作刪除替代結(jié)點(diǎn)，而替代結(jié)點(diǎn)最后總是在樹末。**有了這結(jié)論，我們討論的刪除紅黑樹的情景就少了很多，因?yàn)槲覀冎豢紤]刪除樹末結(jié)點(diǎn)的情景了。
同樣的，我們也是先來(lái)總體看下刪除操作的所有情景，如圖19所示。
圖19 紅黑樹刪除情景
哈哈，是的，即使簡(jiǎn)化了還是有9種情景！但跟插入操作一樣，存在左右對(duì)稱的情景，只是方向變了，沒有本質(zhì)區(qū)別。同樣的，我們還是來(lái)約定下，如圖20所示。
圖20 刪除操作結(jié)點(diǎn)的叫法約定
圖20的字母并不代表結(jié)點(diǎn)Key的大小。R表示替代結(jié)點(diǎn)，P表示替代結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)，S表示替代結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)，SL表示兄弟結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)，SR表示兄弟結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)?；疑Y(jié)點(diǎn)表示它可以是紅色也可以是黑色。
值得特別提醒的是，R是即將被替換到刪除結(jié)點(diǎn)的位置的替代結(jié)點(diǎn)，在刪除前，它還在原來(lái)所在位置參與樹的子平衡，平衡后再替換到刪除結(jié)點(diǎn)的位置，才算刪除完成。
萬(wàn)事具備，我們進(jìn)入最后的也是最難的講解。
刪除情景1：替換結(jié)點(diǎn)是紅色結(jié)點(diǎn)
我們把替換結(jié)點(diǎn)換到了刪除結(jié)點(diǎn)的位置時(shí)，由于替換結(jié)點(diǎn)時(shí)紅色，刪除也了不會(huì)影響紅黑樹的平衡，只要把替換結(jié)點(diǎn)的顏色設(shè)為刪除的結(jié)點(diǎn)的顏色即可重新平衡。
處理：顏色變?yōu)閯h除結(jié)點(diǎn)的顏色
刪除情景2：替換結(jié)點(diǎn)是黑結(jié)點(diǎn)
當(dāng)替換結(jié)點(diǎn)是黑色時(shí)，我們就不得不進(jìn)行自平衡處理了。我們必須還得考慮替換結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)還是右子結(jié)點(diǎn)，來(lái)做不同的旋轉(zhuǎn)操作，使樹重新平衡。
刪除情景2.1：替換結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)
刪除情景2.1.1：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)是紅結(jié)點(diǎn)
若兄弟結(jié)點(diǎn)是紅結(jié)點(diǎn)，那么根據(jù)性質(zhì)4，兄弟結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)和子結(jié)點(diǎn)肯定為黑色，不會(huì)有其他子情景，我們按圖21處理，得到刪除情景2.1.2.3（后續(xù)講解，這里先記住，此時(shí)R仍然是替代結(jié)點(diǎn)，它的新的兄弟結(jié)點(diǎn)SL和兄弟結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)都是黑色）。
處理：
- 將S設(shè)為黑色
- 將P設(shè)為紅色
- 對(duì)P進(jìn)行左旋，得到情景2.1.2.3
- 進(jìn)行情景2.1.2.3的處理
圖21 刪除情景2.1.1
刪除情景2.1.2：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)是黑結(jié)點(diǎn)
當(dāng)兄弟結(jié)點(diǎn)為黑時(shí)，其父結(jié)點(diǎn)和子結(jié)點(diǎn)的具體顏色也無(wú)法確定（如果也不考慮自底向上的情況，子結(jié)點(diǎn)非紅即為葉子結(jié)點(diǎn)Nil，Nil結(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn)），此時(shí)又得考慮多種子情景。
刪除情景2.1.2.1：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)是紅結(jié)點(diǎn)，左子結(jié)點(diǎn)任意顏色
即將刪除的左子樹的一個(gè)黑色結(jié)點(diǎn)，顯然左子樹的黑色結(jié)點(diǎn)少1了，然而右子樹又又紅色結(jié)點(diǎn)，那么我們直接向右子樹“借”個(gè)紅結(jié)點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充黑結(jié)點(diǎn)就好啦，此時(shí)肯定需要用旋轉(zhuǎn)處理了。如圖22所示。
處理：
- 將S的顏色設(shè)為P的顏色
- 將P設(shè)為黑色
- 將SR設(shè)為黑色
- 對(duì)P進(jìn)行左旋
圖22 刪除情景2.1.2.1
平衡后的圖怎么不滿足紅黑樹的性質(zhì)？前文提醒過，R是即將替換的，它還參與樹的自平衡，平衡后再替換到刪除結(jié)點(diǎn)的位置，所以R最終可以看作是刪除的。另外圖2.1.2.1是考慮到第一次替換和自底向上處理的情況，如果只考慮第一次替換的情況，根據(jù)紅黑樹性質(zhì)，SL肯定是紅色或?yàn)镹il，所以最終結(jié)果樹是平衡的。如果是自底向上處理的情況，同樣，每棵子樹都保持平衡狀態(tài)，最終整棵樹肯定是平衡的。后續(xù)的情景同理，不做過多說(shuō)明了。
刪除情景2.1.2.2：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn)，左子結(jié)點(diǎn)為紅結(jié)點(diǎn)
兄弟結(jié)點(diǎn)所在的子樹有紅結(jié)點(diǎn)，我們總是可以向兄弟子樹借個(gè)紅結(jié)點(diǎn)過來(lái)，顯然該情景可以轉(zhuǎn)換為情景2.1.2.1。圖如23所示。
處理：
- 將S設(shè)為紅色
- 將SL設(shè)為黑色
- 對(duì)S進(jìn)行右旋，得到情景2.1.2.1
- 進(jìn)行情景2.1.2.1的處理
圖23 刪除情景2.1.2.2
刪除情景2.1.2.3：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)都為黑結(jié)點(diǎn)
好了，此次兄弟子樹都沒紅結(jié)點(diǎn)“借”了，兄弟幫忙不了，找父母唄，這種情景我們把兄弟結(jié)點(diǎn)設(shè)為紅色，再把父結(jié)點(diǎn)當(dāng)作替代結(jié)點(diǎn)，自底向上處理，去找父結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)去“借”。但為什么需要把兄弟結(jié)點(diǎn)設(shè)為紅色呢？顯然是為了在P所在的子樹中保證平衡（R即將刪除，少了一個(gè)黑色結(jié)點(diǎn)，子樹也需要少一個(gè)），后續(xù)的平衡工作交給父輩們考慮了，還是那句，當(dāng)每棵子樹都保持平衡時(shí)，最終整棵總是平衡的。
處理：
- 將S設(shè)為紅色
- 把P作為新的替換結(jié)點(diǎn)
- 重新進(jìn)行刪除結(jié)點(diǎn)情景處理
圖24 情景2.1.2.3
刪除情景2.2：替換結(jié)點(diǎn)是其父結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)
好啦，右邊的操作也是方向相反，不做過多說(shuō)明了，相信理解了刪除情景2.1后，肯定可以理解2.2。
刪除情景2.2.1：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)是紅結(jié)點(diǎn)
處理：
- 將S設(shè)為黑色
- 將P設(shè)為紅色
- 對(duì)P進(jìn)行右旋，得到情景2.2.2.3
- 進(jìn)行情景2.2.2.3的處理
圖25 刪除情景2.2.1
刪除情景2.2.2：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)是黑結(jié)點(diǎn)
刪除情景2.2.2.1：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)是紅結(jié)點(diǎn)，右子結(jié)點(diǎn)任意顏色
處理：
- 將S的顏色設(shè)為P的顏色
- 將P設(shè)為黑色
- 將SL設(shè)為黑色
- 對(duì)P進(jìn)行右旋
圖26 刪除情景2.2.2.1
刪除情景2.2.2.2：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)為黑結(jié)點(diǎn)，右子結(jié)點(diǎn)為紅結(jié)點(diǎn)
處理：
- 將S設(shè)為紅色
- 將SR設(shè)為黑色
- 對(duì)S進(jìn)行左旋，得到情景2.2.2.1
- 進(jìn)行情景2.2.2.1的處理
圖27 刪除情景2.2.2.2
刪除情景2.2.2.3：替換結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)都為黑結(jié)點(diǎn)
處理：
- 將S設(shè)為紅色
- 把P作為新的替換結(jié)點(diǎn)
- 重新進(jìn)行刪除結(jié)點(diǎn)情景處理
圖28 刪除情景2.2.2.3
綜上，紅黑樹刪除后自平衡的處理可以總結(jié)為：
哈哈，是不是跟現(xiàn)實(shí)中很像，當(dāng)我們有困難時(shí)，首先先自己解決，自己無(wú)力了總兄弟姐妹幫忙，如果連兄弟姐妹都幫不上，再去找遠(yuǎn)方的親戚了。這里記憶應(yīng)該會(huì)好記點(diǎn)～
最后再做個(gè)習(xí)題加深理解（請(qǐng)不熟悉的同學(xué)務(wù)必動(dòng)手畫下）：
***習(xí)題2：請(qǐng)畫出圖29的刪除自平衡處理過程。
習(xí)題2
寫在后面
耗時(shí)良久，終于寫完了～自己加深了紅黑樹的理解的同時(shí)，也希望能幫助大家。如果你之前沒學(xué)習(xí)過紅黑樹，看完這篇文章后可能還存在很多疑問，如果有疑問可以在評(píng)論區(qū)寫出來(lái)，我會(huì)盡自己所能解答。另外給大家推薦一個(gè)支持紅黑樹在線生成的網(wǎng)站，來(lái)做各種情景梳理很有幫助：在線生成紅黑樹。（刪除操作那個(gè)把替代結(jié)點(diǎn)看作刪除結(jié)點(diǎn)思路就是我自己在用這個(gè)網(wǎng)站時(shí)自己頓悟的，我覺得這樣講解更容易理解。）
少了代碼是不是覺得有點(diǎn)空虛？哈哈，后續(xù)我會(huì)寫關(guān)于Java和HashMap和TreeMap的文章，里面都有紅黑樹相關(guān)的知識(shí)。相信看了這篇文章后，再去看Java和HashMap和TreeMap的源碼絕對(duì)沒難度！
最后來(lái)看下思考題和習(xí)題的答案吧。
思考題和習(xí)題答案
思考題1：黑結(jié)點(diǎn)可以同時(shí)包含一個(gè)紅子結(jié)點(diǎn)和一個(gè)黑子結(jié)點(diǎn)嗎？
答：可以。如下圖的F結(jié)點(diǎn)：
習(xí)題1：請(qǐng)畫出圖15的插入自平衡處理過程。
答：
習(xí)題2：請(qǐng)畫出圖29的刪除自平衡處理過程。
作者：安卓大叔
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的这篇文章带你彻底理解红黑树的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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