1 素數

1.1 素數的判斷

素數的判斷較為簡單，直接上代碼，需要注意的幾點：

bool isPrime(int n){if(n==1) return false; //1需要特判int sqr=(int)sqrt(n*1.0); //之所以要用這條語句而不是在for循環里使用sqrt(n)，解釋如下for(int i=2;i<=sqr;i++){if(n%i==0) return false;}return true; }

在上面的代碼中，其中需要用到一條? int sqr=(int)sqrt(n*1.0); 用來在循環中做一個循環邊界呢。首先可以從 double sqrt(double) 可以看出，sqrt()的返回值和參數都是double類型的。在計算機中，小數都是不精確的，如，sqrt(9)是等于3.000000000001還是2.999999999999都是不好講的。有的計算機可能給出前者，有的則可能是后者，這樣對我們循環的邊界的判斷造成了影響。于是就用到了上面一行代碼，轉化參數的數據類型，保證sqrt得到我們想要的值。

1.2 素數表的獲取?

下面給出兩個方法。

首先是比較常用的，對n不超過是可以的，復雜度包括了判斷是否為素數O()和遍歷從1到n的復雜度O(n)，因此第一種方式（對n不超過）的時間復雜度為O(n) 。下面給出代碼：

const int maxn=101; int Prime[maxn],pNum=0; //數組Prime()存放所有的素數，pNum為素數的個數 bool p[maxn]={0}; void Find_Prime(){for(int i=1;i<maxn;i++){if(isPrime(i)==true){ //判斷是否為素數Prime[pNum++]=i;p[i]=true;}} }

其次是時間復雜度更小的一種方式，為O()，這是一種什么原理的，我們來看：

2是素數，因此去掉所有2的倍數，如4,6,8,10,12,14,16,18,20；

3沒有被前面的步驟篩去，所以3是素數，因此去掉所有3的倍數，如6,9,12,15,18；

4被前面的步驟篩去了，所以4不是素數；

5沒有被前面的步驟篩去，所以5是素數，因此去掉所有5的倍數，如5,10,15,20；

6被前面的步驟篩去了，所以6不是素數；?

……

由上面可以看出，當從小到大達到達到某數n的時候，如果n沒有被前面的步驟篩去，那么n就一定是素數。原理是：當n不是素數時，必然有小于n的質因數，這樣在之前篩去質因數的倍數的時候就應該把n篩去了。所以，當n沒有被前面步驟篩去的時候，就一定是一個素數。于是可以給出如下代碼：

const int maxn=101; int Prime[maxn],pNum; //同樣的道理，建立一個數組Prime來存放素數，pNum為蘇數的個數 bool p[maxn]={0}; //素數為0，非素數為1 void Find_Prime(int n){for(int i=2;i<max;i++){if(p[i]==0){Prime[pNum++]=i;for(int j=i;j<maxn;j += i){p[j]=true;}}} }

2 質因數的分解

質因數分解就是將一個整數n分解成若干個素數乘積的形式，如8=222，18=2233等等。素數的尋找上面已經講過了，而且值得注意的是2357111317192329的積就已經超過了int型的上限了。

我們對于質因數的分解，不妨先設一個結構體：

struct factor{int x,cnt; //x代表了質因數，cnt代表了該質因數的個數 }fac[10];

那么對于180來說，就有

fac[0].x=2; fac[0].cnt=2;fac[1].x=3; fac[1].cnt=2;fac[2].x=5; fac[2].cnt=1;

?首先枚舉1~sqrt(n)范圍內所有質因子p，判斷p是否為n的質因數。

const num=0; void Find_Factor(int n){for(int i=0;i<10;i++){if(n%Prime[i]==0){fac[num].x=Prime[i];fac[num].cnt=0;while(n%fac[num].x==0){fac[num].cnt++;n=n/fac[num].x;}num++;}} }

?如果在上邊步驟結束后n人大于1，說明n有且僅有一個質因子（即n本身），這時需要將這個質因子加入fac數組，令其個數為1.

if(n!=1){fac[num].x=n;fac[num++].cnt=1; }

?解釋完畢

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【PAT笔记】数学问题——素数和质因数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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