概要

本章介紹AVL樹。和前面介紹"二叉查找樹"的流程一樣，本章先對AVL樹的理論知識進行簡單介紹，然后給出C語言的實現。本篇實現的二叉查找樹是C語言版的，后面章節再分別給出C++和Java版本的實現。
建議：若您對"二叉查找樹"不熟悉，建議先學完"二叉查找樹"再來學習AVL樹。

目錄

1.?AVL樹的介紹
2.?AVL樹的C實現
3.?AVL樹的C實現(完整源碼)
4.?AVL樹的C測試程序

轉載請注明出處：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html

---

更多內容:?數據結構與算法系列 目錄?

(01)?AVL樹(一)之 圖文解析 和 C語言的實現
(02)?AVL樹(二)之 C++的實現

?

AVL樹的介紹

AVL樹是根據它的發明者G.M.?Adelson-Velsky和E.M.?Landis命名的。
它是最先發明的自平衡二叉查找樹，也被稱為高度平衡樹。相比于"二叉查找樹"，它的特點是：AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為1。 (關于樹的高度等基本概念，請參考"二叉查找樹(一)之 圖文解析 和 C語言的實現?")

上面的兩張圖片，左邊的是AVL樹，它的任何節點的兩個子樹的高度差別都<=1；而右邊的不是AVL樹，因為7的兩顆子樹的高度相差為2(以2為根節點的樹的高度是3，而以8為根節點的樹的高度是1)。

AVL樹的查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O(logn)。
如果在AVL樹中插入或刪除節點后，使得高度之差大于1。此時，AVL樹的平衡狀態就被破壞，它就不再是一棵二叉樹；為了讓它重新維持在一個平衡狀態，就需要對其進行旋轉處理。學AVL樹，重點的地方也就是它的旋轉算法；在后文的介紹中，再來對它進行詳細介紹。

?

AVL樹的C實現

1. 節點

1.1 定義

typedef int Type;typedef struct AVLTreeNode{Type key; // 關鍵字(鍵值)int height;struct AVLTreeNode *left; // 左孩子struct AVLTreeNode *right; // 右孩子 }Node, *AVLTree;

AVL樹的節點包括的幾個組成對象:
(01) key -- 是關鍵字，是用來對AVL樹的節點進行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。

?

1.2 節點的創建

/** 創建AVL樹結點。** 參數說明：* key 是鍵值。* left 是左孩子。* right 是右孩子。*/ static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right) {Node* p;if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)return NULL;p->key = key;p->height = 0;p->left = left;p->right = right;return p; }

?

1.3 樹的高度

#define HEIGHT(p) ( (p==NULL) ? 0 : (((Node *)(p))->height) )/** 獲取AVL樹的高度*/ int avltree_height(AVLTree tree) {return HEIGHT(tree); }

關于高度，有的文章中將"空二叉樹的高度定義為-1"，而本文采用維基百科上的定義：樹的高度為最大層次。即空的二叉樹的高度是0，非空樹的高度等于它的最大層次(根的層次為1，根的子節點為第2層，依次類推)。

?

1.4 比較大小

#define MAX(a, b) ( (a) > (b) ? (a) : (b) )

?

2. 旋轉
前面說過，如果在AVL樹中進行插入或刪除節點后，可能導致AVL樹失去平衡。這種失去平衡的可以概括為4種姿態：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面給出它們的示意圖：

上圖中的4棵樹都是"失去平衡的AVL樹"，從左往右的情況依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情況之外，還有其它的失去平衡的AVL樹，如下圖：

上面的兩張圖都是為了便于理解，而列舉的關于"失去平衡的AVL樹"的例子。總的來說，AVL樹失去平衡時的情況一定是LL、LR、RL、RR這4種之一，它們都由各自的定義：

(1)?LL：LeftLeft，也稱為"左左"。插入或刪除一個節點后，根節點的左子樹的左子樹還有非空子節點，導致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面LL情況中，由于"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；導致"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。

(2)?LR：LeftRight，也稱為"左右"。插入或刪除一個節點后，根節點的左子樹的右子樹還有非空子節點，導致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
? ???例如，在上面LR情況中，由于"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節點"，而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點"；導致"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。

(3)?RL：RightLeft，稱為"右左"。插入或刪除一個節點后，根節點的右子樹的左子樹還有非空子節點，導致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面RL情況中，由于"根節點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；導致"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。

(4)?RR：RightRight，稱為"右右"。插入或刪除一個節點后，根節點的右子樹的右子樹還有非空子節點，導致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導致AVL樹失去了平衡。
? ? ?例如，在上面RR情況中，由于"根節點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節點"，而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點"；導致"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。

前面說過，如果在AVL樹中進行插入或刪除節點后，可能導致AVL樹失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通過旋轉使其恢復平衡，下面分別介紹"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"這4種情況對應的旋轉方法。

?

2.1 LL的旋轉

LL失去平衡的情況，可以通過一次旋轉讓AVL樹恢復平衡。如下圖：

圖中左邊是旋轉之前的樹，右邊是旋轉之后的樹。從中可以發現，旋轉之后的樹又變成了AVL樹，而且該旋轉只需要一次即可完成。
對于LL旋轉，你可以這樣理解為：LL旋轉是圍繞"失去平衡的AVL根節點"進行的，也就是節點k2；而且由于是LL情況，即左左情況，就用手抓著"左孩子，即k1"使勁搖。將k1變成根節點，k2變成k1的右子樹，"k1的右子樹"變成"k2的左子樹"。

LL的旋轉代碼

/** LL：左左對應的情況(左單旋轉)。** 返回值：旋轉后的根節點*/ static Node* left_left_rotation(AVLTree k2) {AVLTree k1;k1 = k2->left;k2->left = k1->right;k1->right = k2;k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;return k1; }

?

2.2 RR的旋轉

理解了LL之后，RR就相當容易理解了。RR是與LL對稱的情況！RR恢復平衡的旋轉方法如下：

圖中左邊是旋轉之前的樹，右邊是旋轉之后的樹。RR旋轉也只需要一次即可完成。

?

RR的旋轉代碼

/** RR：右右對應的情況(右單旋轉)。** 返回值：旋轉后的根節點*/ static Node* right_right_rotation(AVLTree k1) {AVLTree k2;k2 = k1->right;k1->right = k2->left;k2->left = k1;k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;return k2; }

?

2.3 LR的旋轉

LR失去平衡的情況，需要經過兩次旋轉才能讓AVL樹恢復平衡。如下圖：

第一次旋轉是圍繞"k1"進行的"RR旋轉"，第二次是圍繞"k3"進行的"LL旋轉"。

?

LR的旋轉代碼

/** LR：左右對應的情況(左雙旋轉)。** 返回值：旋轉后的根節點*/ static Node* left_right_rotation(AVLTree k3) {k3->left = right_right_rotation(k3->left);return left_left_rotation(k3); }

?

2.4 RL的旋轉
RL是與LR的對稱情況！RL恢復平衡的旋轉方法如下：

第一次旋轉是圍繞"k3"進行的"LL旋轉"，第二次是圍繞"k1"進行的"RR旋轉"。

RL的旋轉代碼

/** RL：右左對應的情況(右雙旋轉)。** 返回值：旋轉后的根節點*/ static Node* right_left_rotation(AVLTree k1) {k1->right = left_left_rotation(k1->right);return right_right_rotation(k1); }

3. 插入
插入節點的代碼

/* * 將結點插入到AVL樹中，并返回根節點** 參數說明：* tree AVL樹的根結點* key 插入的結點的鍵值* 返回值：* 根節點*/ Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key) {if (tree == NULL) {// 新建節點tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);if (tree==NULL){printf("ERROR: create avltree node failed!\n");return NULL;}}else if (key < tree->key) // 應該將key插入到"tree的左子樹"的情況 {tree->left = avltree_insert(tree->left, key);// 插入節點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應的調節。if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2){if (key < tree->left->key)tree = left_left_rotation(tree);elsetree = left_right_rotation(tree);}}else if (key > tree->key) // 應該將key插入到"tree的右子樹"的情況 {tree->right = avltree_insert(tree->right, key);// 插入節點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應的調節。if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2){if (key > tree->right->key)tree = right_right_rotation(tree);elsetree = right_left_rotation(tree);}}else //key == tree->key) {printf("添加失敗：不允許添加相同的節點！\n");}tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;return tree; }

?

4. 刪除
刪除節點的代碼

/* * 刪除結點(z)，返回根節點** 參數說明：* ptree AVL樹的根結點* z 待刪除的結點* 返回值：* 根節點*/ static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z) {// 根為空 或者 沒有要刪除的節點，直接返回NULL。if (tree==NULL || z==NULL)return NULL;if (z->key < tree->key) // 待刪除的節點在"tree的左子樹"中 {tree->left = delete_node(tree->left, z);// 刪除節點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應的調節。if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2){Node *r = tree->right;if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))tree = right_left_rotation(tree);elsetree = right_right_rotation(tree);}}else if (z->key > tree->key)// 待刪除的節點在"tree的右子樹"中 {tree->right = delete_node(tree->right, z);// 刪除節點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應的調節。if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2){Node *l = tree->left;if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left))tree = left_right_rotation(tree);elsetree = left_left_rotation(tree);}}else // tree是對應要刪除的節點。 {// tree的左右孩子都非空if ((tree->left) && (tree->right)){if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right)){// 如果tree的左子樹比右子樹高；// 則(01)找出tree的左子樹中的最大節點// (02)將該最大節點的值賦值給tree。// (03)刪除該最大節點。// 這類似于用"tree的左子樹中最大節點"做"tree"的替身；// 采用這種方式的好處是：刪除"tree的左子樹中最大節點"之后，AVL樹仍然是平衡的。Node *max = avltree_maximum(tree->left);tree->key = max->key;tree->left = delete_node(tree->left, max);}else{// 如果tree的左子樹不比右子樹高(即它們相等，或右子樹比左子樹高1)// 則(01)找出tree的右子樹中的最小節點// (02)將該最小節點的值賦值給tree。// (03)刪除該最小節點。// 這類似于用"tree的右子樹中最小節點"做"tree"的替身；// 采用這種方式的好處是：刪除"tree的右子樹中最小節點"之后，AVL樹仍然是平衡的。Node *min = avltree_maximum(tree->right);tree->key = min->key;tree->right = delete_node(tree->right, min);}}else{Node *tmp = tree;tree = tree->left ? tree->left : tree->right;free(tmp);}}return tree; }/* * 刪除結點(key是節點值)，返回根節點** 參數說明：* tree AVL樹的根結點* key 待刪除的結點的鍵值* 返回值：* 根節點*/ Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key) {Node *z; if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL)tree = delete_node(tree, z);return tree; }

?

注意：關于AVL樹的"前序遍歷"、"中序遍歷"、"后序遍歷"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"銷毀"等接口與"二叉查找樹"基本一樣，這些操作在"二叉查找樹"中已經介紹過了，這里就不再單獨介紹了。當然，后文給出的AVL樹的完整源碼中，有給出這些API的實現代碼。這些接口很簡單，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

?

AVL樹的C實現(完整源碼)

AVL樹的頭文件(avltree.h)

?View Code

AVL樹的實現文件(avltree.c)

?View Code

AVL樹的測試程序(avltree_test.c)?

?View Code

?

AVL樹的C測試程序

AVL樹的測試程序運行結果如下：

== 依次添加: 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 == 前序遍歷: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 == 中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 == 后序遍歷: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 == 高度: 5 == 最小值: 1 == 最大值: 16 == 樹的詳細信息: 7 is root4 is 7's left child2 is 4's left child1 is 2's left child3 is 2's right child6 is 4's right child5 is 6's left child 13 is 7's right child 11 is 13's left child9 is 11's left child8 is 9's left child 10 is 9's right child 12 is 11's right child 15 is 13's right child 14 is 15's left child 16 is 15's right child== 刪除根節點: 8 == 高度: 5 == 中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 == 樹的詳細信息: 7 is root4 is 7's left child2 is 4's left child1 is 2's left child3 is 2's right child6 is 4's right child5 is 6's left child 13 is 7's right child 11 is 13's left child9 is 11's left child 10 is 9's right child 12 is 11's right child 15 is 13's right child 14 is 15's left child 16 is 15's right child

?

下面，我們對測試程序的流程進行分析！

1. 新建AVL樹
? ?新建AVL樹的根節點root。

?

2. 依次添加"3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9" 到AVL樹中，過程如下。
2.01 添加3,2
添加3,2都不會破壞AVL樹的平衡性。

?

2.02 添加1
添加1之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.03 添加4
添加4不會破壞AVL樹的平衡性。

?

2.04 添加5
添加5之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.05 添加6
添加6之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.06 添加7
添加7之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.07 添加16
添加16不會破壞AVL樹的平衡性。

?

2.08 添加15
添加15之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.09 添加14
添加14之后，AVL樹失去平衡(RL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(RL旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.10 添加13
添加13之后，AVL樹失去平衡(RR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.11 添加12
添加12之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.12 添加11
添加11之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.13 添加10
添加10之后，AVL樹失去平衡(LL)，此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下：

?

2.14 添加8
添加8不會破壞AVL樹的平衡性。

?

2.15 添加9
但是添加9之后，AVL樹失去平衡(LR)，此時需要對AVL樹進行旋轉(LR旋轉)。旋轉過程如下：

3. 打印樹的信息
輸出下面樹的信息：

前序遍歷:?7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16?
中序遍歷:?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16?
后序遍歷:?1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7?
高度:?5
最小值:?1
最大值:?16

?

4. 刪除節點8

刪除操作并不會造成AVL樹的不平衡。

刪除節點8之后，在打印該AVL樹的信息。
高度: 5
中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AVL树(一)之 C语言的实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。