數據結構課程實踐系列

題目1：學生成績檔案管理系統(tǒng)（實驗準備）

題目2：隱式圖的搜索問題（A*算法解決八數碼）

題目3：文本文件單詞的檢索與計數（實驗準備）

文章目錄

• 數據結構課程實踐系列
• • 題目1：學生成績檔案管理系統(tǒng)（實驗準備）
  • 題目2：隱式圖的搜索問題（A*算法解決八數碼）
  • 題目3：文本文件單詞的檢索與計數（實驗準備）
• 聲明
• • 題目要求
  • 何為八數碼？
  • 狀態(tài)如何表示
  • 所需知識
• 導出所需知識
• • 優(yōu)先隊列BFS算法缺陷
  • A*搜索算法
  • 總結：
• 實際操作
• • 搜索過程描述
  • 啟發(fā)式策略工作工程：紅圈數字表示擴展順序
• 代碼實現
• • Map+BFS+A*
  • Hash+BFS+A*
• GAMEOVER

聲明

題目要求

看過這次實驗要求之后

總結：利用A*來解決八數碼問題，狀態(tài)很好找，每次移動空格就會形成一種新的狀態(tài)，

何為八數碼？

八數碼游戲包括一個3X3的棋盤，棋盤上擺放著8個數字的棋子，留下一個空位。與空位相鄰的棋子可以滑動到空位中。游戲的目的是要達到一個特定的目標狀態(tài)。標注的形式化如下（舉例）：

23

1	8	4
7	6	5

（初始狀態(tài)）

123

8		4
7	6	5

（目標狀態(tài)）

狀態(tài)如何表示

每個狀態(tài)都用3*3的數組表示，但是BFS中需要入隊出隊，比較麻煩而且空間占用較大

狀態(tài)壓縮，采用一個整數保存狀態(tài)的數字序列，例如狀態(tài)1表示為203184765,狀態(tài)2表示為123804765

所需知識

優(yōu)先隊列BFS算法，因為A*算法就是帶有估價函數的優(yōu)先隊列BFS。

導出所需知識

優(yōu)先隊列BFS算法缺陷

該算法維護了一個優(yōu)先隊列（二叉堆），不斷從堆中取出“當前代價最小”的狀態(tài)（堆頂）去進行擴展。但是它得到只是初態(tài)到該狀態(tài)的最小代價（并沒有去考慮從該狀態(tài)出發(fā)到目標狀態(tài)的情況）

舉例說明：
如果給定一個“目標狀態(tài)”，需要求出從初態(tài)到目標狀態(tài)的最小代價，優(yōu)先隊列BFS顯然不行。因為一個狀態(tài)的當前代價最小，只能說明從起始狀態(tài)到該狀態(tài)的代價很小，而在未來的探索中，從該狀態(tài)到目標狀態(tài)可能會花費很大的代價；另外一些狀態(tài)雖然當前代價略大，但是未來到目標狀態(tài)的代價可能會很小，于是從起始狀態(tài)到目標狀態(tài)的總代價反而更優(yōu)。

A*搜索算法

于是，我們?yōu)榱私鉀Q上面的問題：可以對未來可能產生的代碼進行預估。詳細地講，我們去設計一個**“估價函數”**，以任意狀態(tài)為輸入，計算出從該狀態(tài)到目標狀態(tài)所需代價的估計值。在搜索之中，仍然維護了一個堆，不斷從堆中取出“當前代價+未來估價”最小的狀態(tài)來進行擴展。

為了保證第一次從堆中取出目標狀態(tài)時得到的就是最優(yōu)解，我們設計的估價函數需要滿足一個基本準則：

設當前狀態(tài)state到目標狀態(tài)所需代價的估計值為f（state）；設在未來的探索中，實際求出的從當前狀態(tài)state到目標狀態(tài)的最小代價為g（state）
對于任意的state，應該有f（state）<=g（state）

也就是說，估價函數的估值不能大于未來實際代價，估價比實際代價更優(yōu)。估價函數f(n)=g(n)+h(n)

總結：

這種帶有估價函數的優(yōu)先隊列BFS就成為A* 算法。只要保證對于任意狀態(tài)state，都有f（state）<=g（state），A* 算法就一定能在目標狀態(tài)第一次從堆中被取出時得到最優(yōu)解，并且在搜索過程中每個狀態(tài)只需要擴展一次（之后再被取出就可以直接忽略 ）。估價f（state）越準確，越接近g（state），A*算法的效率越高。如果估價始終為0，就等于普通的優(yōu)先隊列BFS。

實際操作

搜索過程描述

A算法又稱為啟發(fā)式搜索算法。對啟發(fā)式搜索算法，又可根據搜索過程中選擇擴展節(jié)點的范圍，將其分為全局擇優(yōu)搜索算法和局部擇優(yōu)搜索算法。

在全局擇優(yōu)搜索中，每當需要擴展節(jié)點時，總是從 Open 表的所有節(jié)點中選擇一個估價函數值最小的節(jié)點進行擴展。其搜索過程可能描述如下：

把初始節(jié)點 S0 放入 Open 表中， f(S0)=g(S0)+h(S0) ；

如果 Open 表為空，則問題無解，失敗退出；

把 Open 表的第一個節(jié)點取出放入 Closed 表，并記該節(jié)點為 n ；

考察節(jié)點 n 是否為目標節(jié)點。若是，則找到了問題的解，成功退出；

若節(jié)點 n 不可擴展，則轉到第 (2) 步；

擴展節(jié)點 n ，生成子節(jié)點 ni ( i =1,2, …… ) ，計算每一個子節(jié)點的估價值 f( ni ) ( i =1,2, …… ) ，并為每一個子節(jié)點設置指向父節(jié)點的指針，然后將這些子節(jié)點放入 Open 表中；

根據各節(jié)點的估價函數值，對 Open 表中的全部節(jié)點按從小到大的順序重新進行排序；

轉第 (2) 步。

這里采用的啟發(fā)式策略為：f(n) = g(n) + h(n)，其中g(n)為從初始節(jié)點到當前節(jié)點的步數(層數)，h(n)為 當前節(jié)點 “不在位 ”的方塊數（也就是說不在位的方塊數越少，那么臨目標狀態(tài)越近）例如下圖中的h(n)=5，有的講解的是不包含空格，我這里是包含了的，經測試只要前后標準一致，包不包含空格都一樣。
g(n)為已經消耗的實際代價，即已經走了的步數。
h(n)為預測路徑，即還有幾個數字待走。

h(n)=5

啟發(fā)式策略工作工程：紅圈數字表示擴展順序

代碼實現

Map+BFS+A*

#include<cstdio> #include<queue> #include<map> using namespace std; char arr[10], brr[10] = "123804765"; struct node {int num, step, cost, zeroPos;bool operator<(const node& a)const {return cost > a.cost;}node(int n, int s, int p) {num = n, step = s, zeroPos = p;setCost();}void setCost() {char a[10];int c = 0;sprintf(a, "%09d", num);for (int i = 0; i < 9; i++)if (a[i] != brr[i])c++;cost = c + step;} }; int des = 123804765; int changeId[9][4] = { {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1} }; map<int, bool>mymap; priority_queue<node> que;//優(yōu)先級隊列 void swap(char* ch, int a, int b) { char c = ch[a]; ch[a] = ch[b]; ch[b] = c; } int bfsHash(int start, int zeroPos) {char temp[10];node tempN(start, 0, zeroPos);//創(chuàng)建一個節(jié)點 que.push(tempN);//壓入優(yōu)先級隊列 mymap[start] = 1;//標記開始節(jié)點被訪問過 while (!que.empty()) {tempN = que.top();que.pop();//彈出一個節(jié)點 sprintf(temp, "%09d", tempN.num);int pos = tempN.zeroPos, k;for (int i = 0; i < 4; i++) {if (changeId[pos][i] != -1) {swap(temp, pos, changeId[pos][i]);sscanf(temp, "%d", &k);if (k == des)return tempN.step + 1;if (mymap.count(k) == 0) {node tempM(k, tempN.step + 1, changeId[pos][i]);que.push(tempM);//創(chuàng)建一個新節(jié)點并壓入隊列 mymap[k] = 1;}swap(temp, pos, changeId[pos][i]);}}} } int main() {int n, k, b;scanf("%s", arr);for (k = 0; k < 9; k++)if (arr[k] == '0')break;sscanf(arr, "%d", &n);b = bfsHash(n, k);printf("%d步即可變換完成", b);return 0; }

所得結果跟我們上圖分析結果一樣，

changeId[9][4] = { {-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1} };

這個數組也就代表九個位置中四個方向的可置換的數組元素下標（-1表示該方向不能交換），注意：這里的四個方向的話，是逆時針，（上左下右）

Hash+BFS+A*

#include<cstdio> #include<queue> using namespace std; char arr[10],brr[10]="123804765"; struct node{int num,step,cost,zeroPos;bool operator<(const node &a)const{return cost>a.cost;}node(int n,int s,int p){num=n,step=s,zeroPos=p;setCost();}void setCost(){char a[10];int c=0;sprintf(a,"%09d",num);for(int i=0;i<9;i++)if(a[i]!=brr[i])c++;cost=c+step;} }; int changeId[9][4]={{-1,-1,3,1},{-1,0,4,2},{-1,1,5,-1},{0,-1,6,4},{1,3,7,5},{2,4,8,-1},{3,-1,-1,7},{4,6,-1,8},{5,7,-1,-1}}; const int M=2E+6,N=1000003;//362897; int hashTable[M];//hashtable中key為hash值，value為被hash的值 int Next[M],des=123804765;//next表示如果在某個位置沖突，則沖突位置存到hashtable[next[i]] priority_queue<node> que;//優(yōu)先級隊列 int Hash(int n){return n%N; } bool tryInsert(int n){int hashValue=Hash(n);while(Next[hashValue]){//如果被hash出來的值得next不為0則向下查找 if(hashTable[hashValue]==n)//如果發(fā)現已經在hashtable中則返回false return false; hashValue=Next[hashValue];}//循環(huán)結束hashValue指向最后一個hash值相同的節(jié)點 if(hashTable[hashValue]==n)//再判斷一遍 return false; int j=N-1;//在N后面找空余空間，避免占用其他hash值得空間造成沖突 while(hashTable[++j]);//向后找一個沒用到的空間 Next[hashValue]=j;hashTable[j]=n;return true; } void swap(char* ch,int a,int b){char c=ch[a];ch[a]=ch[b];ch[b]=c;}int bfsHash(int start,int zeroPos){char temp[10];node tempN(start,0,zeroPos); que.push(tempN);while(!que.empty()){tempN=que.top();que.pop();sprintf(temp,"%09d",tempN.num);int pos=tempN.zeroPos,k;for(int i=0;i<4;i++){if(changeId[pos][i]!=-1){swap(temp,pos,changeId[pos][i]);sscanf(temp,"%d",&k);if(k==des)return tempN.step+1;if(tryInsert(k)){//插入新狀態(tài)成功，則說明新狀態(tài)沒有被訪問過 node tempM(k,tempN.step+1,changeId[pos][i]);que.push(tempM);}swap(temp,pos,changeId[pos][i]);}}} } int main(){int n,k,b=0;scanf("%s",arr);for(k=0;k<9;k++)if(arr[k]=='0')break;sscanf(arr,"%d",&n);if(n!=des)b=bfsHash(n,k);printf("%d步即可變換完成",b); return 0; }

GAMEOVER

總結

以上是生活随笔為你收集整理的题目2：隐式图的搜索问题（A*算法解决八数码）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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