快速冪是優化的冪運算算法。
快速冪取模是快速冪+同余定理。

一、暴力冪運算

考慮計算 3¹¹，可以讓3累乘11次，復雜度是O(n)

int Pow1(int a, int b) {int ans = 1;for (int i = 0; i < b; i++) ans *= a;return ans; }int main() {cout << Pow1(3, 11) << endl;return 0; }

輸出：

177147

二、快速冪

以 3¹¹ 舉例。把指數11寫成二進制形式是1011，所以
11 = 2³ + 0 × 2² + 2¹ + 2⁰

所以 3¹¹ 又可以寫成：
3¹¹ =3^ (2³ + (0 × 2²) + 2¹ + 2⁰)

拆括號得：
3¹¹ = 3⁸ × (0 × 3⁴) × 3² × 3¹

可以發現乘法因子是以平方的形式增長的，比如 3² 等于 3¹ 的平方，3⁸ 等于 3⁴ 的平方。
由此規律，可以寫出快速冪算法了。
我們先定義一個ans=1來保存答案，然后從低到高遍歷指數b的每一個二進制位，同時我們讓底數a隨著循環每次做一個平方，a, a², a⁴, a⁸,…。
可以寫出快速冪的框架：

int Pow(int a, int b) {int ans = 1;while (b) {...a *= a;b >>= 1;}return ans; }

因為11是1011，3¹¹ = 3⁸ × (0 × 3⁴) × 3² × 3¹，可以發現，當二進制位等于1時，ans要累乘一次a。因此完整代碼如下：

#include <iostream> using namespace std;int Pow(int a, int b) {int ans = 1;while (b) {//因為1的二進制是0000 0001，所以 b & 1 為真就意味著 b 的最低位是1。if (b & 1) ans *= a;a *= a;b >>= 1;}return ans; }int main() {cout << Pow(3, 11) << endl;return 0; }

以上就是快速冪算法的分析。

三、快速冪取模

快速冪取模可以用來解決 “114514^1919810 除以6的余數等于多少”或者是“2³⁰的后6位是多少”之類的問題。它是在快速冪的基礎上，結合了同余定理。

#include <iostream> using namespace std;int Pow(int a, int b, int c) {int ans = 1;while (b) {if (b & 1) ans = ans * a % c;a = a * a % c;b >>= 1;}return ans; }int main() {cout << Pow(114514, 1919810, 6) << endl;cout << Pow(2, 30, 1000000) << endl;return 0; }

輸出：

4 741824

總結

以上是生活随笔為你收集整理的快速幂+快速幂取模的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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