在實際的控制系統中能夠得到的是連續信號x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號x(nT)來計算信號x(t)的頻譜。

　　有限長離散信號x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：

DFT

可以看出，DFT需要計算大約N2次乘法和N2次加法。當N較大時，這個計算量是很大的。

利用WN的對稱性和周期性，將N點DFT分解為兩個N／2點的 DFT，這樣兩個N／2點DFT總的計算量只是原來的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，這樣可以繼續分解下去，將N／2再分解為N／4點 DFT等。對于N=2m 點的DFT都可以分解為2點的DFT，這樣其計算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。

具體方法：

將x(n)分解為偶數與奇數的兩個序列之和，即

x1(n)和x2(n)的長度都是N／2，x1(n)是偶數序列，x2(n)是奇數序列，則

　　其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：

　　上式的運算可以用圖2表示，根據其形狀稱之為蝶形運算。依此類推，經過m-1次分解，最后將N點DFT分解為N／2個兩點DFT。圖3為8點FFT的分解流程。

　　FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現大規模的變換，降低了運算要求，提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算，它們完全是等效的。

關于FFT精度的說明：

因為這個變換采用了浮點運算，因此需要足夠的精度，以使在出現舍入誤差時，結果中的每個組成部分的準確整數值仍是可辨認的。為了FFT的舍入誤差，應該允許增加幾倍log2(log2N)位的二進制。以256為基數、長度為N字節的數可以產生大到(256)2N階的卷積分量，所以為了正確存儲，需要16+log2N位精度，若數i是浮點尾數的二進制位數，則有條件：

如果i=24，對于任意感興趣(N>256)的N值，單精度是不合適的；如果i=53，也就是采用雙精度，則允許N大于106，相當于幾百萬十進制位。所以，用FFT作大數乘法時，向量數組選用雙精度類型

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總結

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