RSA加密算法——密码学笔记（四）
一、數學知識
1.?質數
質數，又稱素數，指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數整除的數。
2. 互質數
百度百科上的解釋是：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。
維基百科上的解釋是：互質，又稱互素。若N個整數的最大公因子是1，則稱這N個整數互質。
常見的互質數判斷方法主要有以下幾種：
兩個不同的質數一定是互質數。例如，2與7、13與19。
一個質數，另一個不為它的倍數，這兩個數為互質數。例如，3與10、5與 26。
相鄰的兩個自然數是互質數。如 15與 16。
相鄰的兩個奇數是互質數。如 49與 51。
較大數是質數的兩個數是互質數。如97與88。
小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。例如 7和 16。
2和任何奇數是互質數。例如2和87。
1不是質數也不是合數，它和任何一個自然數在一起都是互質數。如1和9908。
輾轉相除法。
3.?模運算
模運算：即求余運算，“模”是“mod”的音譯。和模運算緊密相關的一個概念是“同余”，當兩個整數除以同一個正整數，若得相同余數，則稱這兩個整數同余。
如：兩個整數a、b，若它們除以正整數m所得的余數相同，則稱a、b對于模m同余，記為a=b(mod m)，讀為a與b關于模m同余。例如26=14（mod 12）
二、RSA加密算法原理
1. RSA加密
通式：?
即RSA加密就是對明文進行E次方后除以N后求余數的過程。其中，E是加密（Encryption）的首字母，N是數字（Number）的首字母。
由此可知，只要知道E、N就可以進行RSA加密，所以說E、N就是RSA加密的密鑰，E和N的組合就是公鑰，記為
公鑰=（E,N）
2.?RSA解密
通式：
即RSA解密就是對密文進行D次方除以N后求余數的過程。其中，D是解密（Decryption）的首字母。
由此可知，只要知道D、N就可以進行RSA解密，所以說D、N就是RSA解密的密鑰，D和N的組合就是私鑰，記為
3. 生成密鑰對
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 密鑰對=（E,D,N）
（1）求N
準備兩個質數p、q（注意不能太小，否則容易破解），求
N=p*q
（2）求E
建立一個中間數L，使得L是p-1和q-1的最小公倍數，即
L=(p-1)*(q-1)
滿足以下兩個條件的數即為E：
gcd(E,L)=1
其中，需要滿足E和L的最大公約數為1是為了保證一定存在D。
（3）求D
滿足以下兩個條件的數即為D：
E*D mod L?＝?1或E*D=1 (mod L)
E*D mod L=1D等價于E*D-1=kL，k為常數，由此可解出D。
密鑰對的求法 | |
求N | N=p*q；p，q為質數，且p不等于q |
求L | L＝（p－1）（q－1） |
求E | 1 < E < L，gcd（E，L）=1；E，L最大公約數為1（E和L互質） |
求D | 1 < D < L，E*D mod L ＝ 1 |
假設Alice想要通過一個不可靠的媒體接收Bob的一條私人訊息。她以以上的方式來產生一個公鑰和一個私鑰：
（1）隨意選擇兩個大的質數p和q，p不等于q，計算N=p*q。比如選取61和53，則N=61*53=3233，化為二進制則是110010100001，一共12位，所以這個密鑰就是12位，實際應用中，RSA密鑰一般是1024位，重要場合則是2048位。
（2）求得L?=lcm（p-1，q-1）
（3）求E：1 < E < L，gcd（E，L）=1（即L和E互質）
（4）求D：1 < D < L，E*D mod L ＝ 1
（5）將 p 和 q 的記錄銷毀，得到公鑰=（E，N），私鑰=（D，N），Alice將她的公鑰傳給Bob，而將她的私鑰藏起來。
假設Bob想給Alice送一個消息m，他知道Alice產生的N和E，就以下加密通式對明文進行加密，得到密文后就傳遞給Alice：
Alice得到Bob發送過來的密文后就可以利用以下解密通式，結合自己保存的密鑰來進行解密：
RSA也可以用來為一個消息署名。假如甲想給乙傳遞一個署名的消息的話，那么她可以為她的消息計算一個散列值(Message digest)，然后用她的密鑰(private key)加密這個散列值并將這個“署名”加在消息的后面。這個消息只有用她的公鑰才能被解密。乙獲得這個消息后可以用甲的公鑰解密這個散列值，然后將這個數據與他自己為這個消息計算的散列值相比較。假如兩者相符的話，那么他就可以知道發信人持有甲的密鑰，以及這個消息在傳播路徑上沒有被篡改過。 ?
三、RSA加密算法的特點
1. RSA算法的特點
這種算法非常可靠，密鑰越長，它就越難破解。根據已經披露的文獻，目前被破解的最長RSA密鑰是768個二進制位。也就是說，長度超過768位的密鑰，還無法破解（至少沒人公開宣布）。因此可以認為，1024位的RSA密鑰基本安全，2048位的密鑰極其安全。
2. RSA加密算法的安全性
已知公鑰=（E，N）公開，私鑰=（D，N）保密，假設在已知E，N的情況下，能否推出D?
分析：
（1）由E*D mod L=1可知，只有知道E和L，才能算出D。
（2）由L=lcm（p-1，q-1）可知，只有知道p和q，才能算出L。
（3）由N=p*q可知，在知道N的情況下，只有將N因數分解，才能算出p和q。
結論：若N可以被因數分解，D就可以被算出，即私鑰被破解。由于對極大整數進行因數分解的難度很大，這就決定了RSA算法的安全性。
當p和q是一個大素數的時候，從它們的積pq去分解因子p和q，這是一個公認的數學難題。然而，雖然RSA的安全性依賴于大數的因子分解，但并沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。
1994年彼得·秀爾（Peter Shor）證明一臺量子計算機可以在多項式時間內進行因數分解。假如量子計算機有朝一日可以成為一種可行的技術的話，那么秀爾的算法可以淘汰RSA和相關的衍生算法。（即依賴于分解大整數困難性的加密算法）
另外，假如N的長度小于或等于256位，那么用一臺個人電腦在幾個小時內就可以分解它的因子了。1999年，數百臺電腦合作分解了一個512位長的N。1997年后開發的系統，用戶應使用1024位密鑰，證書認證機構應用2048位或以上。
3. RSA加密算法的缺點
雖然RSA加密算法作為目前最優秀的公鑰方案之一，在發表三十多年的時間里，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受。但是，也不是說RSA沒有任何缺點。由于沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度的等價性。所以，RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何。在實踐上，RSA也有一些缺點：
（1）產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密；
（2）分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢。 ? ??
總結
以上是生活随笔為你收集整理的RSA加密算法——密码学笔记（四）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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