文章目錄

• 復(fù)雜性理論基本概念
• • 問(wèn)題(problem)
  • 算法
  • 算法復(fù)雜性
  • 算法分類
  • 問(wèn)題復(fù)雜性
  • • 圖靈機(jī)
    • 圖靈機(jī)分類
    • 問(wèn)題復(fù)雜性
    • • P問(wèn)題
      • NP問(wèn)題
      • NP完全問(wèn)題(NPC問(wèn)題)
      • 總結(jié)
• 密碼學(xué)復(fù)雜性理論假設(shè)
• • 單向函數(shù)(OWF)
  • 偽隨機(jī)生成器(PRG)
  • • 真隨機(jī)數(shù)生成
    • 偽隨機(jī)數(shù)生成器(PRG)
    • • 構(gòu)造偽隨機(jī)生成器
      • 測(cè)試偽隨機(jī)性的方法
  • 單向函數(shù)與偽隨機(jī)生成器的關(guān)系
  • 總結(jié)

復(fù)雜性理論基本概念

問(wèn)題(problem)

??①需要回答的一般性提問(wèn)

??②含有若干未定參數(shù)：

???如果給問(wèn)題的所有參數(shù)指定了具體值，就得到該問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例。

算法

?①求解某一個(gè)問(wèn)題的一系列具體步驟。

??例如：高斯消元法、歐幾里得算法

?②如果一個(gè)算法可以解決一個(gè)問(wèn)題的任何一個(gè)實(shí)例，則這個(gè)算法可以解答這個(gè)問(wèn)題。

?③如果針對(duì)一個(gè)問(wèn)題，至少存在一個(gè)算法可解答這個(gè)問(wèn)題，則這個(gè)問(wèn)題是可解的(resolvable)；否則，是不可解的(unresolvable)。例如：停機(jī)問(wèn)題、希爾伯特第十問(wèn)題。

算法復(fù)雜性

?①一般由算法所需求的**最大時(shí)間(T)和存儲(chǔ)空間(S)**度量。

?②同一問(wèn)題，不同規(guī)模，時(shí)間與空間上存在差異。

??時(shí)間與空間表示成實(shí)例的規(guī)模n的函數(shù)

?③符號(hào)"大O"(Big O)

?④用數(shù)量級(jí)度量復(fù)雜度的優(yōu)點(diǎn)：

??刻畫時(shí)間與空間的需求受輸入長(zhǎng)度變化的影響；

??與所用處理系統(tǒng)無(wú)關(guān)

算法分類

?①多項(xiàng)式時(shí)間算法：O(n^t)：其中t為常數(shù)，n為輸入規(guī)模。

?②指數(shù)時(shí)間算法：O(t^h(n))：其中h(n)為多項(xiàng)式。

?③當(dāng)h(n)大于常數(shù)而低于線性函數(shù)時(shí)，稱為超多項(xiàng)式時(shí)間算法。

?④多項(xiàng)式時(shí)間算法可認(rèn)為是有效的。

問(wèn)題復(fù)雜性

圖靈機(jī)

?①一條無(wú)限長(zhǎng)的紙帶TAPE。紙帶被劃分為一個(gè)接一個(gè)的小格子，每個(gè)格子上包含一個(gè)來(lái)自有限字母表的符號(hào)。

?②一個(gè)讀寫頭HEAD。該讀寫頭可以在紙帶上左右移動(dòng)，它能讀出當(dāng)前所指的格子上的符號(hào)，并能改變當(dāng)前格子上的符號(hào)。

?③一套控制規(guī)則TABLE。它根據(jù)當(dāng)前機(jī)器所處的狀態(tài)以及當(dāng)前讀寫頭所指的格子上的符號(hào)來(lái)確定讀寫頭下一步的動(dòng)作，并改變狀態(tài)寄存器的值，令機(jī)器進(jìn)入一個(gè)新的狀態(tài)。

?④一個(gè)狀態(tài)寄存器。它用來(lái)保存圖靈機(jī)當(dāng)前所處的狀態(tài)。圖靈機(jī)的所有可能狀態(tài)的數(shù)目是有限的，并且有一個(gè)特殊的狀態(tài)，稱為停機(jī)狀態(tài)。

圖靈機(jī)分類

?①確定型圖靈機(jī)(DTM)：每一步操作結(jié)果的唯一確定的；

?②非確定型圖靈機(jī)(NTM)：每一步的操作及結(jié)果不是唯一的，可能是多種選擇；

問(wèn)題復(fù)雜性

?一個(gè)問(wèn)題的復(fù)雜性由在圖靈機(jī)上解決此問(wèn)題的最難的實(shí)例所需的最小的時(shí)間和空間決定。

P問(wèn)題

?確定型圖靈機(jī)上可用多項(xiàng)式時(shí)間可解的問(wèn)題，稱為易處理的。易處理問(wèn)題的全體稱為確定性多項(xiàng)式時(shí)間可解類。

?補(bǔ)充：在確定型圖靈機(jī)上不能用多項(xiàng)式時(shí)間系統(tǒng)地解出的問(wèn)題，稱為難處理的。

NP問(wèn)題

?在非確定型圖靈機(jī)上可用多項(xiàng)式時(shí)間可解的問(wèn)題，稱為非確定性多項(xiàng)式時(shí)間可解問(wèn)題。

?①NP問(wèn)題的全體稱為非確定性多項(xiàng)式時(shí)間可解類，記為NP。

?②求解過(guò)程：猜測(cè)、驗(yàn)證

?③所謂可解指的是，若機(jī)器猜測(cè)一個(gè)解，可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證其正確性。

例如：背包問(wèn)題(子集合問(wèn)題)、可滿足問(wèn)題

NP完全問(wèn)題(NPC問(wèn)題)

?一個(gè)問(wèn)題是NP完全的，如果NP中的任何一個(gè)問(wèn)題都是可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化為該問(wèn)題。

?①NP完全問(wèn)題是NP中**"最難"的問(wèn)題**

總結(jié)

P類問(wèn)題：能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可解的問(wèn)題；

NP類問(wèn)題：在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)“可驗(yàn)證”的問(wèn)題。也就是說(shuō)，不能判定這個(gè)問(wèn)題到底有沒(méi)有解，而是猜出一個(gè)解來(lái)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)證明這個(gè)解是否正確。

NPC問(wèn)題：存在這樣一個(gè)NP問(wèn)題，所有的NP問(wèn)題都可以約化成它。換句話說(shuō)，只要解決了這個(gè)問(wèn)題，那么所有的NP問(wèn)題都解決了。

P問(wèn)題屬于NP問(wèn)題，但不等于

密碼學(xué)復(fù)雜性理論假設(shè)

單向函數(shù)(OWF)

偽隨機(jī)生成器(PRG)

隨機(jī)性：均勻、獨(dú)立、不可預(yù)測(cè)

真隨機(jī)數(shù)生成

?一般通過(guò)測(cè)量不可預(yù)測(cè)的物理過(guò)程實(shí)現(xiàn)：電離輻射的脈沖檢測(cè)

?缺點(diǎn)：效率低、成本高

偽隨機(jī)數(shù)生成器(PRG)

?確定性算法，輸入固定長(zhǎng)度的真隨機(jī)數(shù)(種子)，輸出任意長(zhǎng)度的字符串，且輸出字符串的分布與均勻分布計(jì)算上不可區(qū)分。但并不能增加熵。

構(gòu)造偽隨機(jī)生成器

利用流密碼、分組密碼、Hash函數(shù)、公鑰密碼等

測(cè)試偽隨機(jī)性的方法

?①統(tǒng)計(jì)測(cè)試(必要不充分條件)

??16項(xiàng)檢測(cè)：頻率測(cè)試、序列測(cè)試、游程測(cè)試、自相關(guān)測(cè)試等

?②可證明安全的偽隨機(jī)生成器：基于數(shù)學(xué)困難問(wèn)題的構(gòu)造

??Blun-Micali偽隨機(jī)數(shù)生成器：

??安全性基于破譯RSA體制的困難性：

??二次剩余生成器：

單向函數(shù)與偽隨機(jī)生成器的關(guān)系

?①利用單向函數(shù)可構(gòu)造偽隨機(jī)生成器

?②利用**偽隨機(jī)函數(shù)(PRF)**構(gòu)造安全MAC

總結(jié)

總結(jié)

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