文章目錄

• 前言
• 離散對數問題
• ElGamal加密算法
• • 算法描述
  • • 密鑰生成
    • 加密算法
    • 解密算法
• 橢圓曲線群上的ElGamal加密
• • 密鑰生成
  • 加密算法
  • 解密算法
  • 優勢
  • 點壓縮
• 離散對數問題的困難性
• • 窮舉搜索法
  • Shanks算法BSGS
  • • 原理
    • 算法描述
  • Pohlig-Hellman算法
  • • 原理
    • 偽代碼
  • Pollard ρ算法
  • • 原理
    • 偽代碼
    • 例子
  • 指數計算算法
  • • 原理
    • 例子

前言

ElGamal加密算法是由Taher ElGamal于198年提出的一種基于離散對數問題的公鑰加密算法。是一種非確定性的加密算法，即每次加密會使用一個隨機數，加密相同的明文時，不同的隨機數可能會產生不同的密文。好的加密算法應該具有非確定性，可引入工作模式將算法轉變成非確定性加密算法。

離散對數問題

給定乘法群(G,·)，一個階為n的元素α∈G(即α^{n=e)以及元素β∈<α>。計算唯一的整數a,0≤a≤n-1，滿足**α}a=β**，其中a稱為β的離散對數以a為底的logβ。

ElGamal加密算法

算法描述

密鑰生成

加密算法

解密算法

橢圓曲線群上的ElGamal加密

密鑰生成

加密算法

解密算法

優勢

①基于計算橢圓曲線上離散對數的困難性

②密鑰短(160-bit)

③同一基域上選取不同的橢圓曲線

點壓縮

表示明文或公鑰參數的時候，用點表示，且點有一定規律。

?橫坐標相同的點，縱坐標互為相反數。

離散對數問題的困難性

窮舉搜索法

在0≤a≤n-1之間去遍歷a,看哪個a滿足條件。

時間O(n),空間O(1)

Shanks算法BSGS

原理

算法描述

時間O(n^{0.5)，空間O(n}0.5)

所以群的階應該足夠大

Pohlig-Hellman算法

原理

偽代碼

時間復雜度O(cq)

因此群的階應該含有足夠大的素因子

Pollard ρ算法

原理

偽代碼

例子

所以群的階應該足夠大

指數計算算法

只適用于模p的群上

原理

例子

所以模p應該足夠大，群中元素難以用少量素數表示

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[密码学] ElGamal加密算法与离散对数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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