公钥密码体制（RSA，椭圆曲线密码，ElGamal
目錄
概述
RSA
?密鑰的產(chǎn)生
加密：
?解密：
?ElGamal：
橢圓密碼曲線密碼ECC：
概述
密鑰是需要定期更換的。如果采用對(duì)稱密鑰體制（分組密碼和序列密碼）更換密鑰以及相應(yīng)的“密鑰分發(fā)”工作量相當(dāng)大。
由于對(duì)稱密碼在實(shí)際應(yīng)用中“密鑰分發(fā)”的問(wèn)題，非對(duì)稱密碼在這方面相對(duì)安全。
1976年，Diffie,Hellman發(fā)表了非對(duì)稱密碼的奠基性論文《密碼學(xué)的新方向》，建立了公鑰密碼的概念。
序列密碼在加密和解密時(shí)，無(wú)論是種子密鑰還是生成密鑰流，都是一樣
分組密碼初始密鑰是一樣的，子密鑰使用順序相反或者可以互推。
而非對(duì)稱密碼不一樣，公鑰公開(kāi)，私鑰藏好。
?只有持有私鑰的才能解密。
對(duì)稱密碼體制和非對(duì)稱密碼體制配合，對(duì)稱密碼加密速度快，但密鑰分發(fā)困難，公鑰密碼加密速度慢，基本不存在密鑰分發(fā)問(wèn)題。可以用公鑰密碼傳遞對(duì)稱密碼的密鑰，完成密鑰的分發(fā)，之后運(yùn)用對(duì)稱密碼進(jìn)行大規(guī)模傳輸。
分類：基于大整數(shù)難分解問(wèn)題（RSA，Rabin?；陔x散對(duì)數(shù)難題ElGamal?；跈E圓曲線離散對(duì)數(shù)的密碼體制。
基于的數(shù)學(xué)難題
RSA
大整數(shù)難分解問(wèn)題：
已知大整數(shù)N是兩個(gè)大素?cái)?shù)的乘積。求大素?cái)?shù)p和q使得N=p*q。
?密鑰的產(chǎn)生
選擇兩個(gè)滿足需求的大素?cái)?shù)p和q，n=p*q計(jì)算φ(N) = (P-1)(Q-1)??其中φ(N)是n的歐拉函數(shù)。
選一個(gè)整數(shù)e，滿足1<e<φ(N),且gcd（φ(N)，e）=1，e 與 φ(n) 互質(zhì)。gcd求最大公因數(shù)
取d，可以使得 ed 除以 φ(n) 的余數(shù)為 1
( 1<d<e，且ed mod φ(n) = 1 )?
以{e，n}為公開(kāi)密鑰，{d，n}為私密密鑰。
加密：
c：密文
m：明文
加密：c = m^e mod N
?解密：
解密：m = c^d mod N
?RSA準(zhǔn)確性證明：
證明 m ?經(jīng)加解密后還是? m，
?
?在實(shí)現(xiàn)RSA算法時(shí)，在提高指數(shù)運(yùn)算速度上，可以運(yùn)用膜重復(fù)的算法
?RSA平方乘算法
將e表示為二進(jìn)制形式 bk bk-1 .。。。。。b0
?a為明文，b為e??
?ElGamal：
?基于離散對(duì)數(shù)難題的公鑰密碼體制：
離散對(duì)數(shù)問(wèn)題：已知大素?cái)?shù)p，y屬于{1，2，。。。。，p-1}。g是膜p的本原元（即ord p（g）=p-1(g能被p^p-1整除)），由y，g，p求x使得y=g^X(modp)
1、ElGamal密鑰生成
首先選擇一個(gè)大素?cái)?shù)p，g是模p的本原元α，再選取一個(gè)隨機(jī)數(shù)x,1<x < p-1, 計(jì)算 y = g^x ( mod p )，則其公鑰為 y,g,p。私鑰是x,g,p。
本原元的概念：若模n下a的階d=φ (n)，a就是n的本原元（又稱為原根）。
先是階的概念：模19下7的階為3（7^1=7mod19,7^2=11mod19,7^3=1mod19,7^4=7mod19....）
本原元并不唯一
2、ElGamal加密
（1）對(duì)于明文M加密，隨機(jī)地選取一個(gè)整數(shù)k，2≤k≤p-2
（2）C1＝g^k mod p
（3）C2＝My^k mod p
（4）密文為（C1,C2）
3、ElGamal解密
由密文可得明文M，M=C2/(C1^d) mod p
缺點(diǎn)：密文長(zhǎng)度是所對(duì)應(yīng)的明文長(zhǎng)度的兩倍。
橢圓密碼曲線密碼ECC：
?安全性：基于橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的困難性
已知橢圓曲線Ep（a，b），以及兩個(gè)點(diǎn)Q R屬于Ep（a，b），由R Q Ep（a，b）求K屬于Z 使得R=KQ。
K=kG ?[其中 K,G為Ep(a,b)上的點(diǎn)，k為小于n（n是點(diǎn)G的階）的整數(shù)]
不難發(fā)現(xiàn)，給定k和G，根據(jù)加法法則，計(jì)算K很容易；但給定K和G，求k就相對(duì)困難了。
這就是橢圓曲線加密算法采用的難題。
我們把點(diǎn)G稱為基點(diǎn)（base point），
k（k<n，n為基點(diǎn)g的階）稱為私有密鑰（privte key），
k稱為公開(kāi)密鑰（public="" key)。<="" p="">
現(xiàn)在我們描述一個(gè)利用橢圓曲線進(jìn)行加密通信的過(guò)程：
1、用戶A選定一條橢圓曲線Ep(a,b)，并取橢圓曲線上一點(diǎn)，作為基點(diǎn)G。
2、用戶A選擇一個(gè)私有密鑰k，并生成公開(kāi)密鑰K=kG。
3、用戶A將Ep(a,b)和點(diǎn)K，G傳給用戶B。
4、用戶B接到信息后 ，將待傳輸?shù)拿魑木幋a到Ep(a,b)上一點(diǎn)M（編碼方法很多，這里不作討論），并產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù)r（r<n）。
5、用戶B計(jì)算點(diǎn)C1=M+rK；C2=rG。
6、用戶B將C1、C2傳給用戶A。
7、用戶A接到信息后，計(jì)算C1-kC2，結(jié)果就是點(diǎn)M。
因?yàn)镃1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再對(duì)點(diǎn)M進(jìn)行解碼就可以得到明文。
在這個(gè)加密通信中，如果有一個(gè)偷窺者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通過(guò)K、G 求k 或通過(guò)C2、G求r 都是相對(duì)困難的。因此，H無(wú)法得到A、B間傳送的明文信息。
設(shè)私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點(diǎn)。
?
公鑰加密：
選擇隨機(jī)數(shù)r，將消息M生成密文C，該密文是一個(gè)點(diǎn)對(duì)，即：
C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰
?
私鑰解密：
M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M
其中k、K分別為私鑰、公鑰。
摘抄于橢圓曲線
?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的公钥密码体制（RSA，椭圆曲线密码，ElGamal的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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