初等數論--同余方程--同余方程運算：模逆運算，模指數運算

博主是初學初等數論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：初等數論，方便檢索。

同余方程：$ax\equiv b(modm)$

• 模逆運算：若$(a,m)=1,$那么由上一章信息安全數學基礎–同余方程–同余方程的解證明的“同余方程$ax+b\equiv 0(modm)$的解個數為$(a,m)$”得，同余方程$ax\equiv b(modm)$的解個數為$(a,m)$。
  $ax\equiv b\to x\equiv a^{?1}b(modm)$
  進行模逆運算，求$a^{?1}(modm)$,即求方程$ax\equiv 1(modm)$的解,$\to ax=1+km\to ax?km=1?ax+my=1$，運用歐幾里得算法/輾轉相除法 求$x$。

• 模指數運算：若$(a,m)=1,$那么由歐拉定理知$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$,那么$ax\equiv b\to x\equiv a^{?1}b\to x\equiv a^{\phi (m)?1}b(modm)$
  進行模指數運算，求$a^n(modm)$
  $$\begin{gathered} n=n_k?2^k+n_{k?1}?2^{k?1}+\dots \dots +n_1?2^1+n_0?2^0 \\ {a}^n=a^{n_k?2^k+n_{k?1}?2^{k?1}+\dots \dots +n_1?2^1+n_0?2^0} \\ =(a^{n_k}{)}^2?a^{n_{k?1}}{)}^2\dots \dots a^{n_1}{)}^2?a^{n_0} \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--同余方程--同余方程运算：模逆运算，模指数运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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