初等数论--同余方程--同余方程运算：模逆运算，模指数运算
初等數(shù)論--同余方程--同余方程運(yùn)算：模逆運(yùn)算，模指數(shù)運(yùn)算
博主是初學(xué)初等數(shù)論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：初等數(shù)論，方便檢索。
同余方程：ax≡b(modm)ax\equiv b(mod m)ax≡b(modm)
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模逆運(yùn)算：若(a,m)=1,(a,m)=1,(a,m)=1,那么由上一章信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)–同余方程–同余方程的解證明的“同余方程ax+b≡0(modm)ax+b\equiv 0(mod m)ax+b≡0(modm)的解個(gè)數(shù)為(a,m)(a,m)(a,m)”得，同余方程ax≡b(modm)ax\equiv b(mod m)ax≡b(modm)的解個(gè)數(shù)為(a,m)(a,m)(a,m)。
ax≡b→x≡a?1b(modm)ax\equiv b\rightarrow x\equiv a^{-1}b(mod m)ax≡b→x≡a?1b(modm)
進(jìn)行模逆運(yùn)算，求a?1(modm)a^{-1}(mod m)a?1(modm),即求方程ax≡1(modm)ax\equiv 1(mod m)ax≡1(modm)的解,→ax=1+km→ax?km=1?ax+my=1\rightarrow ax=1+km \rightarrow ax-km=1\leftrightarrow ax+my=1→ax=1+km→ax?km=1?ax+my=1，運(yùn)用歐幾里得算法/輾轉(zhuǎn)相除法 求xxx。 -
模指數(shù)運(yùn)算：若(a,m)=1,(a,m)=1,(a,m)=1,那么由歐拉定理知aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod m)aφ(m)≡1(modm),那么ax≡b→x≡a?1b→x≡aφ(m)?1b(modm)ax\equiv b\rightarrow x\equiv a^{-1}b\rightarrow x\equiv a^{{\varphi(m)}-1}b(mod m)ax≡b→x≡a?1b→x≡aφ(m)?1b(modm)
進(jìn)行模指數(shù)運(yùn)算，求an(modm)a^n(mod m)an(modm)
n=nk?2k+nk?1?2k?1+……+n1?21+n0?20an=ank?2k+nk?1?2k?1+……+n1?21+n0?20=(ank)2?ank?1)2……an1)2?an0n=n_k·2^k+n_{k-1}·2^{k-1}+……+n_1·2^1+n_0·2^0\\ a^n=a^{n_k·2^k+n_{k-1}·2^{k-1}+……+n_1·2^1+n_0·2^0}\\ =(a^{n_k})^2·a^{n_{k-1}})^2……a^{n_1})^2·a^{n_0}n=nk??2k+nk?1??2k?1+……+n1??21+n0??20an=ank??2k+nk?1??2k?1+……+n1??21+n0??20=(ank?)2?ank?1?)2……an1?)2?an0?
總結(jié)
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