近世代數--循環群--怎么判斷是不是循環群？

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

個人感覺循環群需要原根的基礎知識，這里是我對原根的部分記錄。

三個方法：

• 1.定義

循環群：設群$G$中任意元素都可以表示成某一固定元素$a$的冪次，$G=\{a^n|n\in Z\}，$那么稱$G$為循環群，$a$為群$G$的生成元，寫成$G=<a>$。

• 2.循環群的子群也是循環群。

證明：假設循環群$G=<a>,$因為$<e>$和$<a>$不需要證明，直接是循環群，所以我們只需考慮那些非單位元$\{e\}$、非群$G$本身的其他群，假設子群為$H$，
設$s>1,$是使得$a^s\in H$的最小數，我們只需證$H$中的所有元素都可以用$a^s$的冪次來表示即可。
我們假設$a^m$是$H$的任意元素，那么$m=q?s+r,?q,r\in Z,0\le r<s$
我們有$a^r=a^m?(a^{?qs})=a^m?((a^s{)}^q{)}^{?1}$
因為$a^s\in H,$由群的“封閉性”可知，$(a^s{)}^q\in H$;又由群的“單位元+逆元”可知，$((a^s{)}^q{)}^{?1}\in H$，所以$a^m?((a^s{)}^q{)}^{?1}\in H$，即$a^r\in H。$
又因為$s$是使得$a^s\in H$的最小數，所以$r=0$，即$m=q?s,a^m=(a^s{)}^q$，即任意$a^m\in H$都可以寫成$a^s$的冪次形式。

• 3.素數階群一定是循環群，非單位元都是生成元。

假設素數階群為$G$，$|G|=p,p$為素數。
任意元素$a\in G,a=e$，由之前信息安全數學基礎–群環域–拉格朗日定理（關于群的陪集）證過的$|G|=|H|?[G:H]$，我們知道任意子群$|H|$與群$|G|$的階都是有整除關系的，即$|H|\mid |G|$。根據群的“封閉性”，我們知道$<a>$是$G$的子群，所以有$|<a>|\mid |G|=p$。

此時，$a^{|G|}=1$。為什么不是$\equiv 1(mod|G|)$，因為對于群$(G，?)$，運算$?$本身包含了$?(mod|G|)$的意思，即每次做群運算都有$?(mod|G|)$，而不是最后乘法結果$?(mod|G|)$。

又因為$a=e,\to |a|=1$，所以$|<a>|=p$，即$G=<a>$。

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所以，非循環群最小階數為4。

• 1階群，只有一個元素，是循環群；

• 因為2、3是素數，所以2階，3階群是循環群；

  • 唯一三階群：$\{1,a,b\}$，循環群

• 存在階數為4的非循環群；

  • 某個四階群（四階群不唯一）：$\{1,a,b,c\}$，非循環群

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--循环群--怎么判断是不是循环群？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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