公鑰密碼--RSA

• 加密方案
• 正確性
• 安全性

博主是初學公鑰密碼，本意是想整理一些經典的密碼系統，加深記憶也方便日后查找；整理成一個系列公鑰密碼，方便檢索。
如果有錯，歡迎指正。

RSA非對稱加密算法是由Rivest，Shamir，Adleman三人在1978年的“A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems”一文中提出，Euler’s Theorem、Fermat Little Theorem、循環群都和RSA公鑰密碼系統有關。RSA的思想是公鑰加密，私鑰解密。

常用符號

• $pk$：公鑰public key
• $sk$：私鑰secret key
• $m$：明文message
• $c$：密文ciphertext

加密方案

密鑰

• pk：$(n,e)$
  • n：根據$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$，且素數$p$的既約剩余系個數為$“p?1”$，我們知道找兩個素數$p,q$，相乘得到$n=pq$，那么$\phi (n)=\phi (pq)=\phi (p)\phi (q)=(p?1)(q?1)$
  • e：隨機選取整數$1<e<\phi (n)$，使得$(e,\phi (n))=1$
• sk：$d$
  • d：$d\equiv e^{?1}($mod $\phi (n))$

加密

$c\equiv m^e($mod $n)$

解密

$m\equiv c^d($mod $n)$

正確性

$d\equiv e^{?1}($mod $$\begin{gathered} \phi (n)) \\ \to ed\equiv 1( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} \phi (n)) \\ \to ed=1+k?\phi (n) \end{gathered}$$

$c^d($mod $$\begin{gathered} n) \\ \equiv (m^e{)}^d( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} n) \\ \equiv m^{ed}( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} n) \\ \equiv m^{1+k?\phi (n)}( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} n) \\ \equiv m?m^{k?\phi (n)}( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} n) \\ \equiv m?(m^{\phi (n)}{)}^k( \end{gathered}$$mod $n)$

• 若$(m,n)=1$，則根據歐拉定理知$m^{\phi (n)}\equiv 1($mod $n)\to m?(m^{\phi (n)}{)}^k\equiv m($mod $n)$
• 若$(m,n)=1$，因為$p,q$是素數，則根據費馬小定理知${m}^p\equiv m($mod $$\begin{gathered} p) \\ \to m^{p?1}\equiv 1( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} p) \\ \to m^{\phi (p)}\equiv 1( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} p) \\ \to (m^{\phi (p)}{)}^{\phi (q)?k}\equiv 1( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} p) \\ \to m^{k?\phi (n)}\equiv 1( \end{gathered}$$mod $$\begin{gathered} p) \\ \to m?(m^{\phi (n)}{)}^k\equiv m( \end{gathered}$$mod $n)$

所以$c^d\equiv m($mod $n)$

安全性

RSA的安全性基于大整數素因子分解的困難假設。

• 大整數素因子分解問題：$p,q$為大素數，$n=p?q$，已知$n$，想要求解$p,q$。
• 因為RSA的私鑰$d\equiv e^{?1}$ mod $?(n)$，$?(n)=?(p)?(q)=(p?1)(q?1)$，所以只要能由$n$分解出$p,q$，就可以計算出$?(n)$，因為$e$是公開的，從而可計算出$d$，求解明文$m$。

大整數素因子分解問題屬于$NP$復雜性類。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的公钥密码--RSA的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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