近世代數(shù)--域--域的一些例子

• 兩個例子
• • $Z[i]/<1+i>$
  • • 理想$<1+i>$由哪些元素組成？
    • $Z[i]/<1+i>$由哪些元素組成？
    • $Z[i]/<1+i>$是二元域：
  • $Z_3[x]/<x^2+1>$
  • • 證明$<x^2+1>$是$Z_3[x]$的極大理想
    • $Z_3[x]/<x^2+1>$里有哪些元素？

博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數(shù)，方便檢索。

這里是域的基本概念：

• 域：可交換的除環(huán)，記為$(F,+,?)$
  • $(F,+)$為$Abel$群；
  • $(F^{?},?)$為$Abel$群；($F^{?}$為非零元全體)
  • 乘法對加法滿足分配律

兩個例子

$Z[i]/<1+i>$

$<1+i>$是$Z[i]$的主理想，$Z[i]=\{a+bi|a,b\in Z\}$是高斯整環(huán)

理想$<1+i>$由哪些元素組成？

$$\begin{gathered} 1+i\in I, \\ a+bi\in Z,a,b\in Z,\to 1+(?1)?i=1?i\in Z \\ \to (1+i)(1?i)\in I\to (1+i)(1?i)=2\in I\to ?z\in Z,2\in I \end{gathered}$$,有$2z\in I$

$?x,y\in Z,$

• $x?y$為偶數(shù)：$x+yi=(x?y)+(1+i)y$

  $$\begin{gathered} x?y\in 2Z?I, \\ 1+i\in I,y\in Z\to (1+i)y\in I \\ \to x+yi\in I \end{gathered}$$

• $x?y$為奇數(shù)：$x+yi=1+(x?1)+yi$

  • $x?y$為奇數(shù)$\to (x?1)+yi\in I$
  • $?x,y\in Z,x+yi\in Z[i],1+i\in I,\to (1+i)(x+yi)\in I$可以表示出$I$中所有元素，
    又$$\begin{gathered} (1+i)(x+yi)=x+yi+xi?y=(x?y)+(x+y)i=1 \\ \to 1\in /I \end{gathered}$$
  • $\to 1+(x?1)+yi\in /I$

綜上，$x?y$為偶數(shù)時$x+yi\in I$，即$<1+i>=\{x+yi|x,y$同為奇數(shù)或偶數(shù)$\}$

$Z[i]/<1+i>$由哪些元素組成？

• $x?y$為偶數(shù)$\to x+yi\in <1+i>\to \overline{x+yi}=\bar{0}$
• $x?y$為奇數(shù)$\to x+yi\in /<1+i>\to x+yi=1+(x?1)+yi=1+((x?1)+yi)\in 1+<1+i>\to \overline{x+yi}=\bar{1}$
• $Z[i]/<1+i>=\{\bar{0},\bar{1}\}$

$Z[i]/<1+i>$是二元域：

$Z[i]/<1+i>=\{\bar{0},\bar{1}\}$是$Z[i]$的商環(huán)，現(xiàn)在只需證$Z[i]$是可交換的，非零元全體構(gòu)成乘法群

• 可交換：$\bar{0}+\bar{1}=\bar{1}+\bar{0}$
• 非零元全體構(gòu)成乘法群：非零元：$\bar{1}$

$Z_3[x]/<x^2+1>$

根據(jù)$I$是$R$的極大理想$\to R/I$是域，我們只要證明$<x^2+1>$是$Z_3[x]$的極大理想，則可以說明$Z_3[x]/<x^2+1>$是域。

證明$<x^2+1>$是$Z_3[x]$的極大理想

這里是極大理想的定義

• $\to$即證明：設(shè)$I$為$Z_3[x]$的任一理想，$<x^2+1>?I\to I=Z_3[x]$
• $\to$即證明：單位元$1\in I$(理想有吸收性，$r\in R,s\in I,rs,sr\in I\to$若$1\in I$，有$I=R$)
• $\to$即證明：$?a=0,a\in I$($3$是素?cái)?shù)$\to Z_3$是域$\to Z_3[x]$是域$\to ?a\in Z_3[x],a=0,?a^{?1}\in Z_3[x]$，即所有非零元都是可逆元$\to$現(xiàn)在只要證存在非零元屬于$I(?a=0,a\in I)$，就能證得$1\in I$)

$$\begin{gathered} ?f(x)\in I,f(x)\in /<x^2+1>, \\ f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n?1}+\dots +a_{n?1}x+a_n \end{gathered}$$

$?q(x),ax+b\in Z_3[x],$使得$f(x)=(x^2+1)q(x)+(ax+b)$

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$$\begin{gathered} f(x)\in I,f(x)\in /<x^2+1>,x^2+1\in I,q(x)\in Z_3[x] \\ \to (x^2+1)q(x)\in I \\ \to f(x)?(x^2+1)q(x)\in I \\ \to ax+b\in I, \end{gathered}$$又$$\begin{gathered} f(x)\in /<x^2+1> \\ \to ax+b\in /<x^2+1> \end{gathered}$$，又$0\in <x^2+1>$$\to a,b$不全為零

• $$\begin{gathered} a=0,b=0 \\ \to a^2+b^2=0 \end{gathered}$$,又$$\begin{gathered} a^2+b^2=a^2(x^2+1)?(ax+b)(ax?b)\in I \\ \to (a^2+b^2)(a^2+b^2{)}^{?1}\in I \\ \to 1\in I \\ \to I=Z_3[x] \end{gathered}$$
• $a=0,b=0,$又$$\begin{gathered} ax+b\in I \\ \to b{b}^{?1}\in I \\ \to b{b}^{?1}=1\in I \\ \to I=Z_3[x] \end{gathered}$$

$Z_3[x]/<x^2+1>$里有哪些元素？

由于$<x^2+1>$是極大理想，$Z_3[x]/<x^2+1>$是域。

• $Z_3[x]/<x^2+1>?Z_3[x]mod(x^2+1)$

  • 構(gòu)造映射：$\phi :a(x)+I\to a(x)mod(x^2+1),a(x)\in Z_3[x],I=<x^2+1>$

  • 證明well defined：$a(x)+I=b(x)+I\to a(x)\equiv b(x)mod(x^2+1)$

    $a(x)+I=b(x)+I=r(x)+I,r(x)$是陪集代表元，$deg(r(x))\le 1$
    $$\begin{gathered} a(x)\equiv r(x)(mod(x^2+1)),b(x)\equiv r(x)(mod(x^2+1)) \\ \to a(x)\equiv b(x)(mod(x^2+1)) \end{gathered}$$

  • 證明單射：$a(x)+I=b(x)+I\to a(x)mod(x^2+1)=b(x)mod(x^2+1)$

    同理well defined。

  • 證明滿射：易得。

• 設(shè)$a(x)=Z_3[x]mod(x^2+1),$則$$\begin{gathered} a(x)=a_0+a_{1}x,a_0,a_1\in Z_3=\{0,1,2\} \\ \to a(x) \end{gathered}$$有9種可能：$$\begin{gathered} a_0=\{0,1,2\},a_1=\{0,1,2\} \\ \to \\ a(x)=0+0?x=0 \\ a(x)=0+1?x=x \\ a(x)=0+2?x=2x \\ a(x)=1+0?x=1 \\ a(x)=1+1?x=1+x \\ a(x)=1+2?x=1+2x \\ a(x)=2+0?x=2 \\ a(x)=2+1?x=2+x \\ a(x)=2+2?x=2+2x, \\ \to \end{gathered}$$因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$2\equiv ?1(mod3),\to Z_3[x]/<x^2+1>=\{0,x,?x,1,1+x,1?x,?1,?1+x,?1?x\}$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--域--域的一些例子的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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