現代密碼學1.3--古典密碼/historical cipher

• Caesar's cipher/凱撒密碼
• The shift cipher/移動密碼
• The mono-alphabetic substitution cipher/單字母替代密碼
• • 對于shift cipher的進階版攻擊
• The Vigenere(poly-alphabetic)cipher/多字母替代密碼
• • 密鑰長度已知
  • 密鑰長度未知
• 總結

博主正在學習INTRODUCTION TO MODERN CRYPTOGRAPHY (Second Edition) --Jonathan Katz, Yehuda Lindell，做一些筆記供自己回憶，如有錯誤請指正。整理成一個系列現代密碼學，方便檢索。

這一篇講了一些古典密碼，思想是“設計安全的密碼方案是很難的”，所有介紹的古典密碼都已經被破解了。

Caesar’s cipher/凱撒密碼

世界上最古老的有記載的密碼之一。
加密方式：將每個字母向前移動三位，如$a\to D,b\to E$。
攻擊方式：沒有key，知道加密方式的都能破解。

The shift cipher/移動密碼

進階版Caesar’s cipher，加入key。
加密方式：
Gen: Gen key $k\in \{0,\dots \dots ,25\}$；
Enc: $En{c}_k(m_1,\dots \dots m_l)=c_1,\dots \dots ,c_l$, where $c_i=[(m_i+k)$mod $26]$
Dec: $De{c}_k(c_1,\dots \dots c_l)=m_1,\dots \dots ,m_l$, where $m_i=[(c_i?k)$mod $26]$
攻擊方式：密鑰空間=26，密鑰空間太小，只要從26種可能明文中找到有意義的即可。至少需要$2^{70}$大小的密鑰空間。

The mono-alphabetic substitution cipher/單字母替代密碼

進階版shift cipher，改變map方式。
加密方式：之前的map是將字母向前移x位，現在要求只要滿足雙射即可。
攻擊方式：雖然現在密鑰空間（=26！）變大了可以通過英文字母的頻率分布來破解，如e是最常見的英文字母，u通常跟在q后面，h通常跟在t、e后面。

對于shift cipher的進階版攻擊

之前對shift cipher攻擊是遍歷26種可能明文，判斷有意義的明文。但是，“有意義”是機器較難判定的。

以頻率為啟發，對于26個英文字母來說，${\sum }_{i=0}^{25}{p}_i^2=0.065$，$p_i$是第$i$個英文字母在正常文本段中出現的頻率。我們要找移動的位數$k$，假設移完后的頻率用字母$q$表示，那么有$q_{i+k}=p_i$，即${\sum }_{i=0}^{25}{p}_i?q_{i+k}\approx 0.065$，通過這個式子我們可以找到密鑰$k$。

The Vigenere(poly-alphabetic)cipher/多字母替代密碼

進階版mono-alphabetic substitution cipher，同時對多個字母進行map。
加密方式：key是字母串，如"cafe"，則對于每4個明文字母進行"cafe"
的移位。這樣可以使字母頻率變得“平滑”，通過頻率看不出是哪個字母，如"a"通過"c"移到“c”，通過"f"移到"f"。
攻擊方式：這個的攻擊比較難，要求足夠長的密文長度。

密鑰長度已知

這個比較好做一點，比如密鑰長度為t，那我們可以把密文分成t塊，每一塊可以被看作一個mono-alphabetic substitution cipher加密的密文。而且$c_j,c_{j+t},c_{j+2t}\dots \dots$是一個用密鑰key=$k_j$加密的shift cipher密文，我們稱其為第j個流。

• 用暴力破解：將每個流按shift cipher遍歷，需要26次；遍歷t個流，即需要$26^t$次。
• 用頻率分布破解：對于每個流，我們通過對頻率的計算，得到每個流的明文；共t個流，即需要$26?t$次。

密鑰長度未知

不知道密鑰長度的話，會比較難一點，我們盡量推斷出密鑰長度。

• 假設密鑰長度最大為T，即密鑰長度$t\in \{1,2,\dots \dots ,T\}$，則對上述辦法遍歷T次。
• Kasiski’s method：把關注點放在長度為2或3的密文，如"the"、“you"等常見單詞。一般是會被映射成不同的結果，比如"the"通過"caf"映射成"vhj”，通過"afe"映射成"tmi"，但是一旦某一次"the"對應的密鑰仍是"caf"，那么還會出現相同的"vhj"。當我們找到兩個"vhj"，我們可以適當推斷這不是巧合，那么這兩個"vhj"之間的距離一定是密鑰長度的整數倍。
• index of coincidence method：對于每個流，因為等同于shift cipher，所以字母頻率分布是類似的，即$q_{i+j}=p_i$，也就是說仍有${\sum }_{i=0}^{25}{q}_i^2={\sum }_{i=0}^{25}{q}_i^2\approx 0.065$。也就是說，如果我們預測的密鑰長度是正確的，那么方差也會近似正確。我們令$S_{\alpha }={\sum }_{i=0}^{25}{q}_i^2$，如果$\alpha =t$，那么$S\approx 0.065$。

總結

以上密碼的密鑰長度越來越長：

• Caesar’s cipher：密鑰長度為0
• The shift cipher：密鑰長度為$t\in \{1,2,\dots \dots 26\}$
• The mono-alphabetic substitution cipher：密鑰長度：密文長度
• The Vigenere cipher(poly-alphabetic)：密鑰長度是一個長度不定的字符串，且一直重復

可以看出，密鑰長度越長，破解該問題所需要的密文長度也應該更長。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代密码学1.3--古典密码/historical cipher的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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