Chapter 3 NP完全和多項式譜系

• NP完全性
  • 若$?A\in$NP，均有$A{\le }_{K}B$，則$B$是NP-難的；若$B$是NP-難的且$B\in$ NP，則$B$是NP-完全的。
• Cook-levin定理：SAT$\in$ NP-完全
• Ladner定理：若P$=$NP，則P$\cup$NPC$=$ NP
• 貝克-吉爾-索羅維定理：存在$A,B$使得P${}^A$=NP${}^A$且P${}^B=$ NP${}^B$
• 多項式譜系：NP$?$ NP${}^{NP}?$ NP${}^{N{P}^{NP}}?\dots \dots$
• 譜系的邏輯刻畫
• 譜系的交替機(jī)刻畫
• 無限譜系假設(shè)：$?i,$PH${}_i?$ PH${}_{i+1}$

Chapter 4 電路

• 電路譜系定理
  • shannon定理：絕大多數(shù)$n$-元布爾函數(shù)的電路復(fù)雜性大于$\frac{2^n}{n}?o(\frac{2^n}{n})$
  • 最難的$n$-元布爾函數(shù)的電路復(fù)雜性有上界$\frac{2^n}{n}+o(\frac{2^n}{n})$
  • 存在$c<1$，對足夠大的$n$，最難的$n$-元布爾函數(shù)的電路復(fù)雜性有下界$\frac{2^n}{n}(1+c\frac{\log n}{n})$
  • 最難的$n$-元布爾函數(shù)$f$的電路復(fù)雜性$|C_f|$滿足下列不等式：$\frac{2^n}{n}(1+\frac{\log n}{n}?O(\frac{1}{n})\le |C_f|\le \frac{2^n}{n}(1+3\frac{\log n}{n}+O(\frac{1}{n}))$
  • 電路譜系定理：若有$?>0$滿足$n<(2+?)S(n)<S^{\prime }(n)<<2^n/n$，則有SIZE$(S(n))?$ SIZE$(S^{\prime }(n))$
• uniform circuit：限制多項式大小電路族的能力，使它們和多項式時間圖靈機(jī)的計算能力一樣。只考慮多項式時間可判定問題
  • 一個語言可被一致電路族接受當(dāng)僅當(dāng)該語言在$P$中
  • 對所有$L\in NP$，有$L{\le }_{L}CKT?SAT$
  • $CKT?SAT{\le }_{L}SAT$
• $P/poly$：讓多項式時間圖靈機(jī)擁有額外的信息，使它們和多項式大小的電路族的能力一樣，給它們一些建議。
  • $P/poly={\cup }_{c,c^{\prime }}$SIZE$(c{n}^{c^{\prime }})$
  • $P?P/poly$
  • 若$NP?P/poly$，則$PH=P{H}_2$
  • 若$EXP?P/poly$，則${\sum }_{2}SAT$是$EXP$-難的
• 并行計算
  • NC
    • $N{C}^d$：語言$L$在$N{C}^d$中當(dāng)僅當(dāng)$L$可由一個高度函數(shù)為$O({\log }^d(n))$的一致電路族所接受
    • 高效并行計算類$NC$定義為${\cup }_{d\in N}N{C}^d$
  • 圖的可達(dá)性問題在$N{C}^2$中
  • AC：交替電路
    • NC：與門和或門的扇入=2，AC：與門和或門的扇入$\ge$ 2
    • $AC={\cup }_{d\in N}A{C}^d$
    • $N{C}^i?A{C}^i?N{C}^{i+1}$
    • $AC=NC$
• P-完全性
  • 隱式對數(shù)空間可計算函數(shù)具有高效并行算法
  • 若$L\in P$-完全的，$L\in NC$當(dāng)僅當(dāng)$NC=P$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的计算复杂性课程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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