生活随笔
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计算复杂性课程
小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.
計(jì)算復(fù)雜性課程
- Chapter 1 時間復(fù)雜性
- Chapter 2 空間復(fù)雜性
- Chapter 3 NP完全和多項(xiàng)式譜系
- Chapter 4 電路
Chapter 1 時間復(fù)雜性
- 圖靈機(jī)
- 時間可構(gòu)造性（不等價(jià)）
- 通用圖靈機(jī)對數(shù)時間放大（T→cTlogTT\rightarrow cTlogTT→cTlogT）
- 對角線方法
- 丘奇-圖靈論題（可計(jì)算函數(shù)就是圖靈機(jī)可計(jì)算函數(shù)，“遞歸定理”）
- 加速定理
- blum加速定理
- 時間壓縮定理/線性加速：?T(n)+n+2\epsilon T(n)+n+2?T(n)+n+2
- 時間復(fù)雜性類（P,EXPP,EXPP,EXP）
- 間隙定理（TIME(b(x))=(b(x))=(b(x))=TIME(r(b(x)))(r(b(x)))(r(b(x)))）
- 非確定圖靈機(jī)
- P?NP?EXP?NEXPP\subset NP\subset EXP\subset NEXPP?NP?EXP?NEXP
- 通用非確定圖靈機(jī)T→TT\rightarrow TT→T，缺點(diǎn)是不一定終止
- 命題邏輯
- 字(變量或變量否)，單項(xiàng)式(若干字的合取)，語句(若干字的析取)，析取范式(若干單項(xiàng)式的析取)，合取范式(若干語句的合取)
- 永真式：所有可滿足的合取范式的集合
- SAT∈\in∈NP
- 謂詞邏輯
- 計(jì)算的邏輯刻畫（格局圖鄰接矩陣表示）
- 時間譜系定理
- f(n)log?f(n)=o(g(n))f(n)\log f(n)=o(g(n))f(n)logf(n)=o(g(n))，則TIME(f(n))?(f(n))\subsetneqq(f(n))? TIME(g(n))(g(n))(g(n))
- 非確定時間譜系定理：f(n+1)=o(g(n))f(n+1)=o(g(n))f(n+1)=o(g(n))，則NTIME(f(n))?(f(n))\subsetneqq(f(n))? NTIME(g(n))(g(n))(g(n))
- 概率圖靈機(jī)
- 神諭圖靈機(jī)
- 歸約
- Karp歸約：多項(xiàng)式時間可計(jì)算的mmm-歸約函數(shù)，則稱AAA可卡普規(guī)約到BBB，記作A≤KBA\le_K BA≤K?B
- Cook歸約：A∈A\inA∈ PB^BB，則稱AAA可庫克規(guī)約到BBB，記作A≤CBA\le_C BA≤C?B
Chapter 2 空間復(fù)雜性
- 緒論
- 空間壓縮定理：S(n)→?S(n)+1S(n)\rightarrow \epsilon S(n)+1S(n)→?S(n)+1
- 空間可構(gòu)造性（等價(jià)）
- 通用圖靈機(jī)線性空間放大（S→cSS\rightarrow cSS→cS）
- 空間譜系定理：f(n)=o(g(n))f(n)=o(g(n))f(n)=o(g(n))，則SPACE(f(n))?(f(n))\subsetneqq(f(n))? SPACE(g(n))(g(n))(g(n))
- 格局圖：鄰接矩陣表示，每一步是?M,x(C,C′)\phi_{M,x}(C,C')?M,x?(C,C′)
- ?M,x(C,C′)\phi_{M,x}(C,C')?M,x?(C,C′)賦值：對數(shù)空間O(log?S)O(\log S)O(logS)，多項(xiàng)式時間O(∣?M,x(C,C′)∣)=O(Slog?S)O(|\phi_{M,x}(C,C')|)=O(S\log S)O(∣?M,x?(C,C′)∣)=O(SlogS)
- ?M,x(C,C′)\phi_{M,x}(C,C')?M,x?(C,C′)求值：常數(shù)空間，多項(xiàng)式時間O(Slog?S)O(S\log S)O(SlogS)
- 對數(shù)空間類（L,NLL,NLL,NL）
- 對數(shù)空間歸約：若存在隱式對數(shù)空間可計(jì)算的從AAA到BBB的歸約，則A≤LBA\le_L BA≤L?B
- 可達(dá)性問題∈\in∈ NL-完全
- 多項(xiàng)式空間類（PSPACE,NPSPACE）
- TQBF∈\in∈ PSPACE-完全
- 薩維奇定理：NSPACE(SSS)?\subset? SPACE(S2S^2S2)
- 伊默爾曼-斯?jié)衫掌丈炼ɡ?/strong>
- 薩維奇定理→\rightarrow→ coNPSPACE=NPSPACE
- 可達(dá)性問題∈NL￣→coNL=NL\in \overline{NL}\rightarrow coNL=NL∈NL→coNL=NL
- 可達(dá)性問題≤L\le_L≤L? 2SAT→\rightarrow→ 2SAT∈\in∈NL-完全
- 霍普克羅夫特-保羅-瓦里昂特定理：TIME(S(n))?(S(n))\subset(S(n))? SPACE(S(n)/logS(n))(S(n)/logS(n))(S(n)/logS(n))
Chapter 3 NP完全和多項(xiàng)式譜系
- NP完全性
- 若?A∈\forall A\in?A∈NP，均有A≤KBA\le_K BA≤K?B，則BBB是NP-難的；若BBB是NP-難的且B∈B\inB∈ NP，則BBB是NP-完全的。
- Cook-levin定理：SAT∈\in∈ NP-完全
- Ladner定理：若P≠\neq?=NP，則P∪\cup∪NPC≠\neq?= NP
- 貝克-吉爾-索羅維定理：存在A,BA,BA,B使得PA^AA=NPA^AA且PB≠^B\neqB?= NPB^BB
- 多項(xiàng)式譜系：NP?\subsetneqq? NPNP?^{NP}\subsetneqqNP? NPNPNP?……^{NP^{NP}}\subsetneqq……NPNP?……
- 譜系的邏輯刻畫
- 譜系的交替機(jī)刻畫
- 無限譜系假設(shè)：?i,\forall i,?i,PHi?_i\subsetneqqi?? PHi+1_{i+1}i+1?
Chapter 4 電路
- 電路譜系定理
- shannon定理：絕大多數(shù)nnn-元布爾函數(shù)的電路復(fù)雜性大于2nn?o(2nn)\frac{2^n}{n}-o(\frac{2^n}{n})n2n??o(n2n?)
- 最難的nnn-元布爾函數(shù)的電路復(fù)雜性有上界2nn+o(2nn)\frac{2^n}{n}+o(\frac{2^n}{n})n2n?+o(n2n?)
- 存在c<1c<1c<1，對足夠大的nnn，最難的nnn-元布爾函數(shù)的電路復(fù)雜性有下界2nn(1+clog?nn)\frac{2^n}{n}(1+c\frac{\log n}{n})n2n?(1+cnlogn?)
- 最難的nnn-元布爾函數(shù)fff的電路復(fù)雜性∣Cf∣|C_f|∣Cf?∣滿足下列不等式：2nn(1+log?nn?O(1n)≤∣Cf∣≤2nn(1+3log?nn+O(1n))\frac{2^n}{n}(1+\frac{\log n}{n}-O(\frac{1}{n})\le|C_f|\le \frac{2^n}{n}(1+3\frac{\log n}{n}+O(\frac{1}{n}))n2n?(1+nlogn??O(n1?)≤∣Cf?∣≤n2n?(1+3nlogn?+O(n1?))
- 電路譜系定理：若有?>0\epsilon>0?>0滿足n<(2+?)S(n)<S′(n)<<2n/nn<(2+\epsilon)S(n)<S'(n)<<2^n/nn<(2+?)S(n)<S′(n)<<2n/n，則有SIZE(S(n))?(S(n))\subsetneqq(S(n))? SIZE(S′(n))(S'(n))(S′(n))
- uniform circuit：限制多項(xiàng)式大小電路族的能力，使它們和多項(xiàng)式時間圖靈機(jī)的計(jì)算能力一樣。只考慮多項(xiàng)式時間可判定問題
- 一個語言可被一致電路族接受當(dāng)僅當(dāng)該語言在PPP中
- 對所有L∈NPL\in NPL∈NP，有L≤LCKT?SATL\le_L CKT-SATL≤L?CKT?SAT
- CKT?SAT≤LSATCKT-SAT\le_L SATCKT?SAT≤L?SAT
- P/polyP/polyP/poly：讓多項(xiàng)式時間圖靈機(jī)擁有額外的信息，使它們和多項(xiàng)式大小的電路族的能力一樣，給它們一些建議。
- P/poly=∪c,c′P/poly=\cup _{c,c'}P/poly=∪c,c′?SIZE(cnc′)(cn^{c'})(cnc′)
- P?P/polyP\subseteq P/polyP?P/poly
- 若NP?P/polyNP\subseteq P/polyNP?P/poly，則PH=PH2PH=PH_2PH=PH2?
- 若EXP?P/polyEXP\subseteq P/polyEXP?P/poly，則∑2SAT\sum_2 SAT∑2?SAT是EXPEXPEXP-難的
- 并行計(jì)算
- NC
- NCdNC^dNCd：語言LLL在NCdNC^dNCd中當(dāng)僅當(dāng)LLL可由一個高度函數(shù)為O(log?d(n))O(\log^d(n))O(logd(n))的一致電路族所接受
- 高效并行計(jì)算類NCNCNC定義為∪d∈NNCd\cup_{d\in N}NC^d∪d∈N?NCd
- 圖的可達(dá)性問題在NC2NC^2NC2中
- AC：交替電路
- NC：與門和或門的扇入=2，AC：與門和或門的扇入≥\ge≥ 2
- AC=∪d∈NACdAC=\cup_{d\in N}AC^dAC=∪d∈N?ACd
- NCi?ACi?NCi+1NC^i\subseteq AC^i\subseteq NC^{i+1}NCi?ACi?NCi+1
- AC=NCAC=NCAC=NC
- P-完全性
- 隱式對數(shù)空間可計(jì)算函數(shù)具有高效并行算法
- 若L∈PL\in PL∈P-完全的，L∈NCL\in NCL∈NC當(dāng)僅當(dāng)NC=PNC=PNC=P
總結(jié)
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