最大子序列求和_最大子序列和问题
問題描述：
給定一個整數序列，a0, a1, a2, …… , an(項可以為負數)，求其中最大的子序列和。如果所有整數都是負數，那么最大子序列和為0；
例如：對于序列-2， 11， -4， 13， -5， –2。 所求的最大子序列和為20(從11到13，即從a1到a3)。
用于測試下面代碼的的主函數代碼如下：(注意要更改調用的函數名)
int main(int argc, char **argv)
{
vector a;
a.push_back(-2);
a.push_back(11);
a.push_back(-4);
a.push_back(13);
a.push_back(-5);
a.push_back(-2);
int result;
result = maxSubSum1(a); //在這里更改調用的函數名 cout<
}
方法一：對所有的子序列求和，在其中找到最大的
這是最容易想到的，也是最直接的，就是對所有的子序列求和，代碼如下：
int maxSubSum1( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{
for(int j=i; j
{
int thisSum =0;
for( int k=i; k<=j; k++ )
{
thisSum += a[k];
}
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
分析：
① 三層循環嵌套，時間復雜度為O(n^3)；
② 包含有大量的重復計算，例如i=1時： 當 j=3，則計算a1+a2+a3；j=4，則計算a1+a2+a3+a4；其中a1+a2+a3是重復計算的。
另一種思路：上面的方法在每一次循環中，固定i，并把a[i]當做起點，下面的方法將a[i]當做終點。
int maxSubSum1_2( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{
for(int j=0; j
{
int thisSum =0;
for(int k=j; k<=i; k++)
{
thisSum +=a[k]; //從節點j開始 累加到節點i
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
}
return maxSum;
}
方法二：從某點開始的所有序列中，找最大的
如果你意識到，子序列總要有一個位置開始，那么變換一下循環方式，只要求出在所有位置開始的子序列，找到最大的。代碼如下：
int maxSubSum2( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{
int thisSum =0;
for(int j=i; j
{
thisSum +=a[j]; //從節點i開始 累加到結尾
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
分析：
① 兩層循環嵌套，時間復雜度為O(n^2)；
② 雖然比方法一要少，但同樣包含重復計算。例如：當i=1時，要計算a1+a2+a3+a4+……；當i=2時，要計算a2+a3+a4+……；其中a2+a3+a4+……是重復的。
注意：下面是一個錯誤的方法，因為它的起始點固定了，每次都從a0開始，是不能保證遍歷所有的子序列的。
int maxSubSum2_2( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{
int thisSum =0;
for(int j=0; j<=i; j++ )
{
thisSum +=a[j]; //從節點0開始 累加到節點i
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
如果希望將固定終點，那么計算的時候就要從終點開始，依次往前累加。代碼如下：
int maxSubSum2_3( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{
int thisSum =0;
for(int j=i; j>=0; j-- )
{//從節點i開始，向前累加到結尾0
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
方法三：從某一個正數開始
第一步：
到目前為止，題目的信息你只用到了：“最小子序列之和為0”(若有一項大于0，那么子序列的和一定大于或等于該項，也就大于0；因為若所有項都是負數，那么結果為0
如果你再挖掘一下題意：你就會發現，如果a[i]是負的，那么a[i]一定不是最終所有結果子序列的起始點。代碼可以改造為：
int maxSubSum3_1( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{ //(相對方法2，新增)如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起點，所以直接跳過去(利用for循環中有i++)
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j
{
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
第二步：
如果你又再一步發現：任何負的子序列，不可能作為最優子序列的前綴。
又因為上一步已經保證，序列以正數開頭a[i]>0，所以若a[i]到a[j]之間元素的序列和 thisSum<=0時，則i+1和j之間元素不會為最優子序列的前綴，可以讓i=j，即不需要判斷在i和j之間元素開頭。代碼如下
int maxSubSum3_2( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{ //(相對方法2，新增)如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起點，所以直接跳過去(利用for循環中有i++)
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j
{
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
else if( thisSum <= 0 )
{ //(相對方法3_1 新添) thisSum = 0; i = j; }
}
}
return maxSum;
}
第三步：
如果你又進一步發現：因為要求序列開始元素大于0， 若以a[i]開頭的序列，a[i]>0，那么可以知道，所求的最終子序列一定不會以a[i+1]開始， 因為若到相同的元素終止，那么從a[i]開始序列，一定大于從a[i+1]開始的序列。因為s[i, k]=s[i+1, k]+a[i] 例如：a1+a2+a3>0，而又由于這時a1>0,
那么所求子序列一定不會以a2開始，因為從a1開始會更大。 更進一步，如若一個子序列thisSum>0(其中thisSum是從第m項到第n項的和)，那么序列一定不會以a[m]和a[n]之間的項開始。 因為一直thisSum第一個元素a[m]是大于0的，且以a[m]開始的所有子序列都是大于0的，因為若存在子序列小于0，就會提前返回了。 例如：若程序執行到thisSum (為a2+a3+a4)，若thisSum>0，則能說明，a2>0，并且a2+a3>0， a2+a3+a4>0。那么 也可以跳過a[m]和a[n]之間的項，即另
i=j。
int maxSubSum3_3( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i
{ //(相對方法2，新增)如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起點，所以直接跳過去(利用for循環中有i++)
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j
{
thisSum +=a[j];
if( thisSum>0 )
{ //(相對方法3_2 新添)
if(thisSum>maxSum)
{ maxSum = thisSum; }
i = j; //(相對方法3_2 新添)
}
else if( thisSum <= 0 )
{ //(相對方法3_1 新添)
thisSum = 0;
i = j;
}
}
}
return maxSum;
}
第四步：
最后如果你又了解一些程序結構上的優化的知識，那么你會發現下面的問題：
① 循環的分支可以改變一下，去除嵌套分支結構。
② 判斷語句的分支中有共同部分，( i=j )，可以抽取出來。
以上兩步以后，循環部分的代碼編程 變成：
for(int i=0; i
{
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j
{
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{ maxSum = thisSum; }
else if( thisSum>0 )
{ //do nothing }
else if( thisSum <= 0 )
{ thisSum = 0; }
i = j;
}
}
③ 下面這步非常重要，如果你發現，內層循環的循環變量j 和 外層循環的循環變量i同步增長，那么你是否能夠想到，外層循環可能沒有存在的必要。在這里到底能不能去除外層循環，取決于外層循環中是否有額外的工作要做。這里的額外工作是是if(a[i]
<=0) 判斷語句，如果你能發現內層循環的 if(thisSum < 0)的判斷能夠替代 if( a[i]<=0 ) 的工作。因為thisSum是由a[j]得到的。
到這里，代碼就可以神奇的變為如下的形式：常量空間，線性時間
int maxSubSum3_4( const vector &a )
{
int maxSum = 0;
int thisSum = 0;
for(int j=0; j
{
thisSum += a[j];
if(thisSum>maxSum)
{ maxSum = thisSum; }
else if( thisSum>0 )
{ //do nothing }
else if( thisSum < 0 )
{ thisSum = 0; }
}
return maxSum;
}
分析：
① 只有一層循環，時間復雜度為O(n)。常量空間，線性時間，這是最優解法。
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2012-09-07 21:52
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評論
總結
以上是生活随笔為你收集整理的最大子序列求和_最大子序列和问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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