第三章-線性代數回顧

文章目錄

• 第三章-線性代數回顧
• • • 矩陣和向量
    • 矩陣的加法
    • 矩陣的乘法
    • • 矩陣標量乘法
      • 矩陣向量乘法
      • 矩陣乘法
      • 矩陣乘法的性質
    • 矩陣的逆、轉置

矩陣和向量

矩陣（Matrix） 是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合

矩陣的維數 是矩陣的行數×列數

矩陣元素（矩陣項）：$A=?\begin{array}{cc}1402& 191\\ 1371& 821\\ 949& 1437\\ 147& 1448\end{array}?$
這個是4×2矩陣，即4行2列，如 m為行，n為列，那么 m×n 即4×2。當矩陣行數與列數相等（m=n）時我們稱此矩陣為方陣。
$A_{ij}$指第 i 行，第 j 列的元素，比如 $A_{21}$=1371

向量 是一種特殊的矩陣，它是一種只有一行或一列的矩陣,如： $y=?\begin{array}{c}460\\ 232\\ 315\\ 178\end{array}?$ 為四維列向量（4×1）。
使用符號 $y_i$ 來表示向量 $y$ 中第 $i$ 個元素， 如：$y_2$=232

當然，矩陣和向量的下標也可以從0開始表示。比如1索引向量和0索引向量，一般我們用1索引向量。

$y=?\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\end{array}?$，$y=?\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ y_3\end{array}?$

通常在書寫矩陣和向量時，我們使用大寫字母來表示矩陣，用小寫字母表示向量。

矩陣的加法

矩陣加法：兩個相同m×n矩陣A和B的和，標記為A+B，一樣是個m×n矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加后的值。

矩陣減法與矩陣加法相類似

矩陣的乘法

矩陣標量乘法

標量乘法是通過常數因子來拉伸或收縮向量。具體做法是將矩陣中的所有元素逐一與標量相乘。

矩陣向量乘法

用 $A$ 矩陣的第 $i$ 行元素分別乘以向量 $y$ 中的元素，然后相加起來，得到一個新的矩陣元素。前提是 $A$ 矩陣的列數與 $y$ 向量的行數必須相等。
$m\times n$ 的矩陣乘以 $n\times 1$ 的向量，得到的是 $m\times 1$ 的向量。

$?\begin{array}{cc}3& 1\\ 7& 2\\ 9& 5\\ 4& 8\end{array}?$ × $\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$ = $?\begin{array}{c}3\times 5+1\times 2\\ 7\times 5+2\times 2\\ 9\times 5+5\times 2\\ 4\times 5+8\times 2\end{array}?$ = $?\begin{array}{c}17\\ 39\\ 55\\ 36\end{array}?$

矩陣乘法

用 $A$ 矩陣的第 $i$ 行元素乘以 $B$ 矩陣的第 $j$ 列元素，然后相加起來，得到一個新的矩陣元素 $C_{ij}$。
$m\times n$ 矩陣乘以 $n\times r$ 矩陣，變成 $m\times r$ 矩陣。

矩陣乘法的性質

• 矩陣的乘法不滿足交換律：$A\times B?=B\times A$
• 矩陣的乘法滿足結合律。即：$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$
• 單位矩陣 ：從左上角到右下角的對角線（稱為主對角線）上的元素均為1，其余元素全都為0的矩陣，一般用 $I$ 或者 $E$ 表示。對于任何矩陣，有 $AI=IA=A$

矩陣的逆、轉置

矩陣的逆 ：如矩陣$A$是一個$m\times m$ 矩陣（方陣），如果有逆矩陣，則：$A{A}^{?1}=A^{?1}A=I$ ，$A^{?1}$ 為 $A$ 的逆矩陣。實際上只有方陣才有逆矩陣。

矩陣的轉置 ：設 $A$ 為 $m\times n$ 階矩陣（即 $m$ 行 $n$ 列），定義 $A$ 的轉置為這樣一個 $n\times m$ 階矩陣 $B$ ，$B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素，即 $B_{ij}$ = $A_{ji}$ ，記做 $A^T=B$ 。

直觀來看，將 $A$ 的所有元素繞著一條從第1行第1列元素出發的右下方45度的射線作鏡面反轉，即得到 $A$ 的轉置。
${\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right|}^T=\left|\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right|$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的吴恩达机器学习（第三章）——线性代数回顾的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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