強化學習—— 蒙特卡洛樹（Monte Carlo Tree Search, MCTS）

• 1. 單一狀態蒙特卡洛規劃
• • 1.1 特點
  • 1.2 數學模型
• 2. 上限置信區間策略
• 3. 蒙特卡洛樹搜索
• • 3.1 選擇
  • 3.2 擴展
  • 3.3 模擬
  • 3.4 反向傳播
  • 3.5 流程圖
• 4. 代碼實現

1. 單一狀態蒙特卡洛規劃

以 多臂賭博機（multi-armed bandits） 為例

1.1 特點

為序列決策問題，在利用（exploitation）和探索（exploration）之間保持平衡，利用為過去決策中的最佳匯報，探索為未來獲得更大回報。

1.2 數學模型

• 設有k個賭博機，選擇第I個賭博機后，獲得的回報為：$$V_{I_t}$$
• 經過n次操作后的悔值函數為（第一項為最大的獎賞）：$$Q_n=ma{x}_{i=1,...,k}\sum _{t=1}^n{V}_{i,t}?\sum _{t=1}^n{V}_{I_t,t}$$

2. 上限置信區間策略

upper confidence bound, UCB

記錄第i個賭博機過去t-1時刻的平均獎賞，在t時刻，選擇具有最佳上限置信區間的賭博機：$$I_t=ma{x}_{i=1,...,k}\{{\hat{V}}_{i,T_i(t?1)}+\sqrt{\frac{2?log(t)}{s}}\}$$
s為賭博機在過去被選中的次數。

UCB的計算公式為：$$UCB={\hat{V}}_j+c?\sqrt{\frac{log(N)}{n_j}}$$

3. 蒙特卡洛樹搜索

3.1 選擇

選擇最大化UCB值的節點：$$\begin{gathered} UCB={\hat{V}}_i+c?\sqrt{\frac{log(N)}{n_i}} \\ c=2 \end{gathered}$$

從根節點root開始，向下遞歸選擇子節點，直至選擇到葉子節點L，通常用UCB選擇最具有潛力的后續結點。

3.2 擴展

如果葉子節點L不是終止節點，則隨機創建一個未被訪問節點，選擇該節點作為后續節點C。

3.3 模擬

從節點C出發，對游戲進行模擬，直到博弈游戲結束。

3.4 反向傳播

用模擬結果來回溯更新導致這個結果的每個節點中的獲勝次數和訪問次數。

3.5 流程圖

此圖來源

4. 代碼實現

MCTS實際使用時可以根據任務進行細節調整，以下為五子棋的MCTS代碼：

# -*- coding: utf-8 -*- # @Time : 2022/4/4 14:55 # @Author : CyrusMay WJ # @FileName: mcts.py # @Software: PyCharm # @Blog ：https://blog.csdn.net/Cyrus_May import numpy as np import copy import datetimeclass Agent:"""turn: 0 means black player, 1 means white player."""def __init__(self, width=15, height=15, logger=None):self.width = widthself.height = heightself.logger = Noneself.turn = 0self.__init_board()def __init_board(self):self.black_board = np.zeros([self.width, self.height])self.white_board = np.zeros([self.width, self.height])self.all_board = self.black_board + self.white_boarddef judge_terminal(self):if self.turn:return self.__judge(self.white_board)else:return self.__judge(self.black_board)def __judge(self, board):for i in range(self.width):for j in range(self.height):if self.width - i >= 5 and board[i, j:i + 5].sum() == 5:return 1if self.height - j >= 5 and board[i:i + 5, j].sum() == 5:return 1if self.width - i >= 5 and self.height - j >= 5 and sum(board[i, j], board[i + 1, j + 1], \board[i + 2, j + 2], board[i + 3, j + 3],board[i + 4, j + 4]) == 5:return 1if self.i >= 4 and self.height - j >= 5 and sum(board[i, j], board[i - 1, j + 1], \board[i - 2, j + 2], board[i - 3, j + 3],board[i - 4, j + 4]) == 5:return 1return 0def update_board(self, x, y):if self.turn:self.black_board[x, y] = 1else:self.white_board[x, y] = 1self.all_board[x, y] = 1def next_state(self):x, y = np.where(1 - self.all_board)if not x.shape[0]:return None, Noneidx = np.random.choice(np.arange(x.shape[0]))x = x[idx]y = y[idx]return x, ydef childs_state(self):x, y = np.where(1 - self.all_board)return x, yclass Node():def __init__(self, agent, childs=[], parent=None):self.agent = agentself.childs = childsself.parent = parentself.reward = 0self.n = 0def add_child(self, node):self.childs.append(node)class MCTS():def __init__(self, max_epochs=10000, max_time=5, logger=None):self.logger = loggerself.max_epochs = max_epochsself.c = 1/np.sqrt(2) # 平衡因子self.max_time = max_timedef search(self, board):board = np.array(board)black_state = (board == 1).astype(np.int32)white_state = (board == 2).astype(np.int32)turn = 0 if black_state.sum() <= white_state.sum() else 1self.agent = Agent(logger=self.logger)self.agent.white_board = white_stateself.agent.black_board = black_stateself.agent.all_board = white_state + black_stateself.agent.turn = turnself.turn = turnreturn self.run()def run(self):root = Node(copy.deepcopy(self.agent))start = datetime.datetime.now()for i in range(self.max_epochs):path = self.selection(root,self.max_epochs)path = self.expand(path)if not path:continuereward = self.simulation(path)self.backward(path,reward)if datetime.datetime.now() - start > self.max_time:breakscores = np.array([self.ucb(node, self.max_epochs) for node in root.childs])x,y = np.where(self.agent.all_board - root.childs[np.argmax(scores)].agent.all_board)return x[0],y[0]def ucb(self, node, epoch):if node.turn == self.turn:return (node.n - node.reward) / (node.n + 1e-8) + 2 * np.sqrt(2 * np.log(epoch) / ((node.n-node.reward) + 1e-8))return node.reward / (node.n + 1e-8) + 2 * np.sqrt(2 * np.log(epoch) / (node.n + 1e-8))def selection(self, root, epoch):path = [root]while 1:if not root.childs:return pathscores = np.array([self.ucb(node, epoch) for node in root.childs])path.append(root.childs[np.argmax(scores)])return pathdef expand(self, path):if path[-1].n > 0 or len(path) == 1:x, y = path[-1].agent.childs_state()if not x.shape[0]:return Nonefor row, col in zip(x, y):node = copy.deepcopy(path[-1])node.turn = 1 - path[-1].agent.turnnode.agent.update_board(row, col)path[-1].add_child(node)path.append(path[-1].childs[0])return pathdef simulation(self, path):root = copy.deepcopy(path[-1])while 1:if root.judge_terminal():return 1 if root.agent.turn != self.turn else 0x, y = root.agent.next_state()if not x.shape[0]:return 0else:root.agent.update_board(x,y)root.agent.turn = 1 - root.agent.turndef backward(self,path,reward):for node in path:node.n += 1node.reward += reward

by CyrusMay 2022 04 04

生命是華麗錯覺
時間是賊偷走一切
————五月天（如煙）————

總結

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