題目描述

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一行兩個(gè)整數(shù) n 和 P， 意義如題面所示。

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一行一個(gè)整數(shù)， 表示有多少種切法。

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6 1000000007

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14

題解：

?????? 我們用f[i-2]來(lái)表示將凸i邊形劃分的方案數(shù)，那么我們?cè)O(shè)一個(gè)凸n邊形的頂點(diǎn)順時(shí)針順序依次為p1，p2……pn，顯然p1和pn相鄰?，F(xiàn)在我們選點(diǎn)pk，（k不為1和n），那么p1，pn，pk會(huì)把圖形分成兩部分+p1pnpk這個(gè)三角形，特殊的，當(dāng)k=n-1或k=2時(shí)，我們把它看成分成了一個(gè)n-1邊形和一個(gè)0邊形。又因?yàn)?邊形無(wú)法劃分，我們暫定f[0]=1(表示0邊形的劃分?jǐn)?shù))。且由常識(shí)可知f[1]=1。

?????? 現(xiàn)在我們就可以得出遞推式：f[i-2]=f[0]*f[i-3]+f[1]*f[i-4]+……+f[i-3]*f[0]；由此可觀察出這就是我們所熟悉的卡特蘭數(shù)，求n邊形的劃分方案，就是求卡特蘭數(shù)的第n-2項(xiàng)。

?????? 在這里先介紹一下卡特蘭數(shù)的數(shù)學(xué)遞推式：

???? ? h(n)=C(2n,n)/(n+1)??? h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); ? h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)

?????? 接下來(lái)就好簡(jiǎn)單啦，不就求第n-2項(xiàng)嗎？

?????? 等等，真的簡(jiǎn)單嗎？對(duì)于本題，n<=10,000,000，而且mod的p還不是質(zhì)數(shù)！！！

?????? 假如我們質(zhì)因數(shù)分解，用最小表示法處理f[n-2]，時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O（nlogn），所以我們必須找更優(yōu)的方法。

?????? 我們的最終目的是用最小表示法表示f[n-2]，那么我們只需知道每個(gè)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)就ok了。比如質(zhì)數(shù)2，1-n中出現(xiàn)2的有n/2次，出現(xiàn)2^2的有n/4次，……，所以質(zhì)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為

n/2+n/4+……+n/2^m，所以貼代碼（這個(gè)需要自己理解一下）：

#include<algorithm> #include<fstream> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> using namespace std;int n,p,tot,pri[10000010],vis[20000020]; long long mi[10000010]; long long ans;void Make_pri() {for (int i=2; i<=2*n; i++){if (vis[i]==0) {tot++; pri[tot] = i;}for (int j=1; j<=tot; j++){long long x = (long long)pri[j]*(long long)i;if (x>2*n) break; vis[x] = 1;if (i%pri[j]==0) break;}} }void Add(int len,int cur) {for (int i=1; i<=tot; i++){long long k = pri[i];while (k<=len){mi[i]+=(long long)cur*(long long)(len/k);k = k*pri[i];}} }void Fast_mi() {for (int i=1; i<=tot; i++){long long a = pri[i],b = mi[i];while (b>0){if (b%2==1) ans = ((long long)ans*(long long)a)%p;b = b/2; a = ((long long)a*(long long)a)%p;}} }int main() {freopen("c.in","r",stdin);freopen("c.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&p);Make_pri(); n = n-2;Add(2*n,1); Add(n,-1); Add(n+1,-1); ans = 1;Fast_mi();printf("%I64d\n",ans);return 0; }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Janous/p/7571608.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蛋糕（卡特兰数）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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