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問你 \([l,r]\) 區間內所有整數中各個數碼出現了多少次。

\(1\leq a\leq b\leq 10^{12}\)

Solution

數位 \(DP\) 。

定義一個函數 \(cal(i)\) 為求 \([1,i)\) 中所有整數各個數碼的和。顯然答案就是 \(cal(r+1)-cal(l)\) 。

考慮如何求 \(cal(x)\) 。

先考慮數的位數小于 \(x\) 的情況。假設 \(x\) 的總位數為 \(tot\) 。我們可以從 \(1\sim tol-1\) 來枚舉最高位。對于每次枚舉的最高位 \(i\) ，顯然最高位上的每個數都會計算 \(10^{i-1}\) 次， \(0\) 除外。再考慮以其為最高位開頭。之后的所有數碼產生的新貢獻為 \(9(i-1)\cdot 10^{i-2}\) 其中 \(9\) 表示最高位有 \([1,9]\) 這 \(9\) 個數； \(i-1\) 表示之后共有 \(i-1\) 位。 \(10^{i-2}\) 指的是每一位會產生貢獻（推推式子可以證明后面的每一位的數碼出現頻率是相同的）。

最高位等于 \(tot\) 的情況和上面是類似的，假設 \(x_i\) 為 \(x\) 的第 \(i\) 位上的數字。顯然對于小于 \(x_i\) 的所有數碼（包括除最高位外的 \(0\) ），都會計算 \(10^{i-1}\) 次。而 \(x_i\) 只會計算 \(last\) 次，其中 \(last\) 為 \(i\) 位之后的數字；之后的所有數碼產生的新貢獻和上面類似，詳可見代碼。

Code

//It is made by Awson on 2018.2.28 #include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define dob complex<double> #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a)) #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b)) #define writeln(x) (write(x), putchar('\n')) #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) using namespace std; void read(LL &x) {char ch; bool flag = 0;for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());x *= 1-2*flag; } void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); } void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }LL x, y, cnt[15];void cal(LL x) {LL a[20], tot = 0, mi = 1, last = 0; while (x) a[++tot] = x%10, x /= 10;for (int i = 1; i < tot; i++) {for (int d = 1; d < 10; d++) cnt[d] += mi;for (int d = 0; d < 10; d++) cnt[d] += mi*9/10*(i-1); mi *= 10;}mi = 1;for (int i = 1; i <= tot; i++) {cnt[a[i]] += last; int begin = (i == tot);for (int d = begin; d < a[i]; d++) cnt[d] += mi;if (a[i]) for (int d = 0; d < 10; d++) cnt[d] += mi*(a[i]-begin)/10*(i-1);last += mi*a[i], mi *= 10;} } void work() {read(x), read(y);cal(x); for (int i = 0; i < 10; i++) cnt[i] = -cnt[i];cal(y+1); for (int i = 0; i < 9; i++) write(cnt[i]), putchar(' '); writeln(cnt[9]); } int main() {work(); return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/8483411.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[ZJOI 2010]count 数字计数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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