uva 1614奇怪的股市（歸納法證明，貪心）

輸入一個長度為n的序列a，滿足\(1\le a_i\le i\)，要求確定每個數的正負號，使得所有數的總和為0.例如a={1, 2, 3, 4}，則4個數的符號分別是1, -1, -1, 1即可。但若a={1, 2, 3, 3}，則無解。n<=1e5。

這道題相當于要找到兩堆相等的數。若序列中數的總和為奇數，那么拆出來的兩堆數無論如何都不可能相等，所以無解。由于這道題的特殊性質，可用歸納法證明總和為偶數時一定有解。

現在要證明，用前i個數的全部或部分可以湊出0到sum[i]的所有整數。n=1時這是成立的。假設n=k之前所有項都成立，那么\(sum[k+1]=sum[k]+a[k+1]\)。只需證明能湊出\(sum[k]+1\)到\(sum[k]+a[k+1]\)的所有整數即可。由于\(1\le a_[k+1]\le k+1\)，而\(sum[k]\ge k\)，所以\(sum[k]+p=x+a[k+1]\ (1\le p\le a[k+1],0\le x\le sum[k])\)恒成立。

這樣一來，就證明了用前n個數，可以湊出sum[n]/2。當sum[n]是偶數時，另一半也就是sum[n]/2。現在的問題就是找出和等于sum[n]/2的數。直接將a數組從大到小排序，然后貪心的取即可。

為什么貪心的取是正確的呢？因為\(1\le a_i\le i\)，排序完的數組必定也滿足這個條件。所以只要貪心的取顯然有解。

#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std;const int maxn=1e5+5; struct node{int data, id; }a[maxn]; int n, chose[maxn]; long long sum;bool cmp1(node &x, node &y){return x.data>y.data; }//100萬才需要讀優 int main(){while (~scanf("%d", &n)){sum=0;for (int i=0; i<n; ++i){scanf("%d", &a[i].data);sum+=a[i].data; a[i].id=i;}if (sum&1){puts("No"); continue; }else sum>>=1;sort(a, a+n, cmp1);for (int i=0; i<n; ++i)if (a[i].data<=sum){sum-=a[i].data;chose[a[i].id]=1;} else chose[a[i].id]=-1;puts("Yes");for (int i=0; i<n; ++i)printf("%d ", chose[i]);puts("");}return 0; }

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總結

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