線性同余方程

定義：
　形同 \(ax \equiv b\ (mod\ m)\)，其中\(x\)是未知整數的同余式。
　
定理：
　\(a,b \in Z\) 且 \(m \in N^+\)，\(gcd(a,m)=d\)，若\(d|b\)，則方程恰好有\(d\)個模\(m\)不同余的解，否則方程無解。
　
解法：
　· 拓展歐幾里得：
　
　由同余方程的定義式可得 \(ax+my=b\)，這個方程就是二元一次不定方程。若方程有解，則對于轉化而來的方程 \(ax+my=b\)，設 \(d=gcd(a,m)\)，則 \(a=d*a_0\)，\(m=d*m_0\)，\(b=d*b_0\)。
　
　方程轉化為 \(a_0x+m_0y=b_0\)，且 \(gcd(a_0,m_0)=1\)，可以利用拓展歐幾里得求出一可行解 \(x\)。
　
　雖然 \(x\) 不唯一，但是屬于一個模 \(m\) 剩余系，由定理可知，共有 \(d\) 個模 \(m\) 剩余類滿足方程，由 \(a_0x \equiv b_0(mod\ m_0)\)，其分別為
　

\(x,x+m_0,x+2m_0...\ x+(d?1)m_0\)
　
　其最小正整數解可表示為 \((x \mod m + m) \mod m\)。
　
　· 另一種神奇的方法：
　對于方程 \(a_0x \equiv b_0(mod\ m_0)\)，由歐拉定理，\(x \equiv a_0^{\phi(m_0) - 1}b_0(mod\ m_0)\)。最終所有的解可以表示為 \(x \equiv a_0^{\phi(m_0) - 1}b_0 + km_0(mod\ m)\)。
　
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線性同余方程組

形式：
　\(\left\{ \begin{array}{lcl} x \equiv a_1 (mod\ n_1 )\\ x \equiv a_2 (mod\ n_2 )\\ x \equiv a_3 (mod\ n_3 )\\ 　　....\\ x \equiv a_k (mod\ n_k ) \end{array} \right.\)
　
　給定\(A = {a_1, a_2, a_3 ... a_k}\)，\(N = {n_1,n_2,n_3...n_k}\)，求一個\(x\)。

解法：
· 當 \(\forall{gcd(n_i,n_j) = 1}\) 時：
　
　中國剩余定理。
　
　首先求出 \(lcm(n_1,n_2,n_3...n_k)\)，即 \(\Pi_{i = 1}^k n_i\)，令 \(m_1= \frac{lcm}{n_1}\)，\(m_2= \frac{lcm}{n_2}\)，\(m_3= \frac{lcm}{n_3}\)\(...\)\(\ m_k= \frac{lcm}{n_k}\)，然后構造出一個方程組：
　
　\(\left\{ \begin{array}{lcl} t_1m_1 \equiv 1 (mod\ n_1 )\\ t_2m_2 \equiv 1 (mod\ n_2 )\\ t_3m_3 \equiv 1 (mod\ n_3 )\\ 　　....\\ t_km_k \equiv 1 (mod\ n_k ) \end{array} \right.\)
　
　利用拓展歐幾里得可以求得 \(t_1,t_2,t_3...t_k\)，最后
　

\(ans=(t_1m_1a_1 + t_2m_2a_2 + t_3m_3a_3 ...\ t_km_ka_k)\mod lcm\)。

· 當 \(\exists{gcd(n_i,n_j) \ne 1}\) 時：
　
　拓展中國剩余定理。
　
　先考慮只有兩個方程的情況：\(\left\{ \begin{array}{lcl} x \equiv a_1 (mod\ n_1 )\\ x \equiv a_2 (mod\ n_2 ) \end{array} \right.\)
　
　得到　\(\left\{ \begin{array}{lcl} x = a_1 + t_1n_1\\ x = a_2 + t_2n_2 \end{array} \right.\)
　
　可以合并為 \(t_1n_1 + a_1 = t_2n_2 + a_2\)，因為 \(t_1,t_2 \in (-\infty,\infty)\)，所以項的符號并不對過程及解造成影響，變形得到一個又可以用拓歐求解的二元一次不定方程 \(t_1n_1 + t_2n_2 = a_2 - a_1\)。
　
　得到一個最小正整數解 \(x_1\)，現在令 \(k = (n_1x_1 + b_1)\)，構造一個方程 \(x \equiv k(mod\ lcm(a_1, a_2))\)，與下一個方程繼續重復上述過程求解即可。
　
· 另一種神奇的方法：
　
　同樣先僅考慮只有兩個方程的情況，設 \(y=x-a_1\)，則
　\(\left\{ \begin{array}{lcl} y \equiv 0 (mod\ n_1)\\ y \equiv a_2-a_1 (mod\ n_2) \end{array} \right.\)
　
　\(g=gcd(n_1,n_2)\)，若保證方程有解則 \(g|(a_2-a_1)\)，設 \(a_0=\frac{a_2-a_1}{g}\)，\(y_0=\frac{y}{g}\)，\(n_1\ '=\frac{n_1}{g}\)，\(n_2\ '=\frac{n_2}{g}\)：
　\(\left\{ \begin{array}{lcl} y_0 \equiv 0 (mod\ n_1\ ')\\ y_0 \equiv a_0 (mod\ n_2\ ') \end{array} \right.\)
　
　得\(kn_1\ ' \equiv a_0(\ mod n_2\ ')\)，由歐拉定理
　

\(k \equiv n_1^{\ \ '\phi(n_2\ ')-1}a_0(\ mod n_2\ ')\)。
　
　現在將以上推算代回原方程：
　\(y_0 \equiv n_1^{\ \ '\phi(n_2\ ')}a_0\ (mod\ n_1n_2)\)，
　\(x \equiv gy_0 + a_1\equiv g(n_1^{\ \ '\phi(n_2\ ')}a_0) + a_1\ (mod\ n_1n_2)\)
　
　至此，兩個同余方程合并成了一個同余方程。迭代若干次可得到原方程組的解。
　
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第一類指數同余方程

　
形式：
　形同 \(a^x \equiv b(mod\ p)\) 的方程。

解法：
　· 當 \(gcd(a,p) = 1\) 時：
　
　\(Baby-step-Giant-step(BSGS)\)法。
　
　首先存在一個結論：若 \(gcd(a,p)=1\)，則有 \(a^{x \mod \phi(p)} \equiv a^x (mod\ p)\)。
　
　證明如下，因為 \(gcd(a,p)=1\)，根據歐拉定理 \(a^{\phi(p)}\equiv 1(mod\ p)\)，因此顯然若 \(k \in N\)，那么 \(a^{k \phi(p)}\equiv 1(mod\ p)\)。
　
　設 \(t \in N\) 且 \(t < \phi (p)\)，所以 \(a^{k \phi(p) + t}\equiv a^t(mod\ p)\)，故\(a^{x \mod \phi(p)} \equiv a^x (mod\ p)\)。
　
　因此可以確定的是若方程有解，則在 \([0, \phi(p))\) 內一定有一個解。是的，這個結論在下面并沒什么用。
　
　\(BSGS\)算法實際上是利用了分塊思想來優化暴力枚舉，有很多形式不同但本質相同的構造方程的方法，這里可以令 \(m=\lfloor \sqrt{p} \rfloor\)，設
　

\(x = im+j\ (i \in [0,m], j\in[0, m], i,j\in N)\)，
　
　即 \(a^x=a^{im}a^j\)。
　
　設 \(d = a^{im}\)，則原方程轉化為 \(da^j=b(mod\ p)\)，枚舉\(i\)，拓歐求得 \(a^j\)。預處理出 \(a^i \mod p(i \in [0, m])\)，就可以利用哈希表近似 \(O(1)\) 查詢 \(j\)。
　
　· 當 \(gcd(a,p) \ne 1\) 時：
　
　拓展\(BSGS\)。
　
　\(g=gcd(a,p)\)，原式為 \((a'g)^x \equiv b'g(mod\ c'g)\)，即 \(a'(a'g)^{x-1} \equiv b'(mod\ c')\)。
　
　對 \((a'g)^{x-1}\) 一項迭代求解，將每次產生的前面的 \(a'\) 乘起來作為 \(d\)，直到 \(g=1\) 為止，此時產生一個方程
　\(da^{x-num} \equiv b(mod\ c)\)。
　
　令 \(x=im+j+num\)，枚舉求出 \(a^i(i \in [0,m+num])\)，即轉化成與之前相同的問題。
　
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第二類指數同余方程

形式：
　形同 \(x^k \equiv b(mod\ p)\) 的方程。

解法：
　· 當\(p\)是質數時：
　
　表示成原根的若干次冪的形式后解線性方程。
　
　使 \(a^y \equiv x(mod\ p)\) 且為 \(p\) 的一個原根，通過第一類指數同余方程的解法求得 \(b \equiv a^m(mod\ p)\)，則
　

\(a^{ky}\equiv a^m(mod\ p)\)，得 \(a^{ky-m} \equiv 1(mod\ p)\)。
　
　根據原根的性質，\(ky-m \equiv 0(mod\ (p-1))\)，解線性同余方程得到 \(y\)，\(x=a^y\mod p\)。
　
　關于原根，即設 \(p\) 是質數，若 \(a^0，a^1，a^2...a^{p-2}\) 互不相等，則稱\(a\)是\(p\)的一個原根。
　
　若廣義黎曼猜想成立，則 \(p\) 的最小正原根是 \(O(log^6 p)\) 級別的，通過枚舉法可以快速找到原根。
　
　關于原根的判斷與尋找，由于費馬小定理成立，因此方程 \(a^x \equiv 1(mod\ p)\) 的一個解是 \(x = p ? 1\)，所以它的最小整數解 \(x_{min} |(p ? 1)\)。此時若 \(x_{min} =(p ? 1)\)，則 \(a\) 是 \(p\) 的原根。
　
　因此逐個嘗試\(p ? 1\)的約數即可。
　
　· 當\(p\)不是質數時：
　
　設\(p=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_k^{a_k}\)，則此類方程與方程組
　\(x^k \equiv b(mod\ p_i^{a_i})，i \in [1,k]\) 等價。
　
　還不太會。
　
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總結

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