題目傳送門

題目大意：給你一個序列，定義一個子序列的權值表示子序列中元素的異或和，現在讓你選出兩個互不相交的子序列，求選出的這兩個子序列權值相等的方案數，$n,a_{i}\leq 10^{6}$

這是一道考察對$FWT$算法理解的好題。然而我并不會

思路來自出題人的題解

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假設權值最大值為$m$

暴力怎么搞？背包$DP$一下

定義$f(i,j)$表示現在遍歷到了第$i$個元素，選出的兩個子序列異或和為$j$的方案數，容易得到方程：

$f(i,j)=f(i-1,j)+2*f(i-1,j\;xor\;a_{i})$

時間復雜度$O(nm)$，可以獲得30分

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看那個卷積形式，$FWT$？

時間復雜度$O(nmlogm)$，可以獲得..0分

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我們發現每一層的生成函數里只有兩個位置有值

假設現在我們遍歷到了第$i$個物品$a_{i}$，第$i$層的生成函數長這個樣：

$f_{i}(0)=1, f_{i}(a_{i})=2$

其它位置都是0誒

對它進行FWT正變換，會發現正變換之后的數組里只有-1和3

因為$f_{i}(0)$對每個位置都有+1的貢獻，而$f_{i}(a_{i})$對每個位置有+2或-2點貢獻

重新考慮那個$0$分暴力。我們把每一層都正變換，然后對應位置相乘，再逆變換回來

我們可以想辦法快速求出對應位置相乘之后的數組$F$，這樣再用一次逆變換就行了

我們只需要統計出每個位置上有幾個3相乘，設3的數量是$x$，-1的數量就是$n-x$，快速冪一下，就能得到$F$了

我們把貢獻積轉化成了指數上的貢獻和，發現只用一次正變換就行啦！

再用快速冪把貢獻和轉化成貢獻積。最后逆變換回來就行了

時間$O(mlogm)$

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1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 #def_{i}ne N1 (1<<20)+10 5 #def_{i}ne ll long long 6 using namespace std; 7 const int p=998244353; 8 9 template <typename _T> void read(_T &ret) 10 { 11 ret=0; _T fh=1; char c=getchar(); 12 while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); } 13 while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); } 14 ret=ret*fh; 15 } 16 17 ll qpow(ll x,ll y) 18 { 19 ll ans=1; 20 for(;y>0;x=x*x%p,y>>=1) if(y&1) ans=ans*x%p; 21 return ans; 22 } 23 24 void FWT_XOR(int *s,int len,int type) 25 { 26 int i,j,k,t,inv2=qpow(2,p-2); 27 for(k=2;k<=len;k<<=1) 28 for(i=0;i<len;i+=k) 29 for(j=0;j<(k>>1);j++) 30 { 31 t=s[i+j+(k>>1)]; s[i+j+(k>>1)]=(s[i+j]-t+p)%p; s[i+j]=(s[i+j]+t)%p; 32 if(type==-1) s[i+j]=1ll*s[i+j]*inv2%p, s[i+j+(k>>1)]=1ll*s[i+j+(k>>1)]*inv2%p; 33 } 34 } 35 36 int n,ma,len,L; 37 int a[N1],s[N1]; 38 39 int ma_{i}n() 40 { 41 scanf("%d",&n); 42 int i,j,x; 43 for(i=1;i<=n;i++) read(a[i]); 44 for(i=1;i<=n;i++) s[a[i]]++, ma=max(ma,a[i]); 45 for(len=1,L=0;len<ma+1;len<<=1,L++); 46 for(i=0;i<len;i++) if(s[i]<0) s[i]+=p; 47 FWT_XOR(s,len,1); 48 for(i=0;i<len;i++) 49 { 50 if(s[i]>n) s[i]-=p; x=(n+s[i])/2; 51 s[i]=( ( ((n-x)&1) ? -1ll:1ll )*qpow(3,x)+p)%p; 52 } 53 FWT_XOR(s,len,-1); 54 printf("%d\n",(s[0]-1+p)%p); 55 return 0; 56 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/guapisolo/p/10597183.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UOJ #310 黎明前的巧克力 (FWT)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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