所謂高斯消元，就是一種解線性方程組的算法。

學過線性代數的同學都知道，線性方程組本質就是一個向量X1左乘一個系數矩陣A得到另一個向量X2，我們要求解的就是所有未知數構成的向量X1。

設一個n元一次方程組，我們把所有未知數的系數以及等號右邊的常數在保持相對位置不變的情況下組成一個n行n+1列的矩陣，

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ...... a_1n b₁
a₂₁ a₂₂ a₂₃ ...... a_2n b₂
...
...
a_n1 a_n2 a_n3 ...... a_nn b_n

然后我們通過矩陣的初等變換，每個方程選擇一個未知數的系數（我們稱為主元），然后把其余方程同一個未知數的系數變為0，最終將該矩陣的未知數系數部分變成每行只有一個非零的數，每列只有一個非零的數的鬼畜矩陣，這樣很顯然每個未知數最終的值都可以直接求出來啦。

當然這里有兩個問題

一是精度誤差。眾所周知浮點數會有精度誤差的，精度要依題而定。精度過小會導致較小的系數誤以為0，而精度過大則可能導致本該為0的誤判為不為0，故而精度要有把握，一般在1e-4~1e-10

二是主元的選擇，我們要想辦法避免或者減少精度誤差，我們可以選擇一個方程里系數最大的那個作為主元，這樣的精度誤差可以減少，因為在浮點數除法運算時，一個較大的數除以一個較小的數的誤差是個玄學大。

枚舉行，先掃一遍得到該行系數最大值，再枚舉剩下(n-1)行，然后對每行n個數進行運算，故而高斯消元的時間復雜度就是O(n³）

最后這個方程組如果是在模2的意義下的話，也就是說方程未知數的系數以及等號右邊的數不是0就是1的話，我們可以用bitset來加快對每行的運算操作從而時間復雜度降為而O(n²)。

洛谷P3389——高斯消元法模板題

1 #include <algorithm> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstdio> 5 #include <iostream> 6 #include <cmath> 7 #include <ctime> 8 #include <queue> 9 #define MIN(a,b) (((a)<(b)?(a):(b))) 10 #define MAX(a,b) (((a)>(b)?(a):(b))) 11 #define ABS(a) (((a)>0?(a):-(a))) 12 #define debug(a) printf("a=%d\n",a) 13 #define OK cout<<"QAQ"<<endl 14 #define fo(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);++i) 15 #define fod(i,a,b) for (int i=(a);i>=(b);--i) 16 #define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);++i) 17 #define red(i,a,b) for (int i=(a);i>(b);--i) 18 #define N 106 19 typedef long long LL; 20 using namespace std; 21 int n, w[N]; //w數組記錄第i行最大系數的位置 22 double v[N], a[N][N + 1]; //v數組記錄xi的解,a數組為相應矩陣 23 void readint(int& x) { 24 x = 0; 25 char c; 26 int w = 1; 27 for (c = getchar(); c<'0' || c>'9'; c = getchar()) 28 if (c == '-') w = -1; 29 for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) 30 x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; 31 x *= w; 32 } 33 void readlong(long long& x) { 34 x = 0; 35 char c; 36 long long w = 1; 37 for (c = getchar(); c<'0' || c>'9'; c = getchar()) 38 if (c == '-') w = -1; 39 for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) 40 x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; 41 x *= w; 42 } 43 int read() { 44 int x = 0; 45 char c; 46 int w = 1; 47 for (c = getchar(); c<'0' || c>'9'; c = getchar()) 48 if (c == '-') w = -1; 49 for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) 50 x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; 51 x *= w; 52 return x; 53 } 54 bool gauss() { 55 int p; //p為最大系數的位置 56 double mx = 0; //mx為最大系數 57 double eps = 1e-6; //eps為精度控制 58 fo(i, 1, n) { 59 p = 0; 60 mx = 0; 61 fo(j, 1, n) if (fabs(a[i][j]) - eps > mx) { mx = fabs(a[i][j]); p = j; } //fabs函數是浮點數的絕對值函數 62 if (p == 0) return 0; //這個情況下，該行未知數系數全為0，若等號右邊的常數不為0，則該方程組無解，若為0，則有無數組解 63 fo(j, 1, n) 64 if (i != j) { //枚舉其他行進行運算 65 double qwq = a[j][p] / a[i][p]; //主元選最大的可以在作商時相對地減少精度誤差 66 fo(k, 1, n + 1) a[j][k] -= qwq * a[i][k]; //注意這里是n+1 67 } 68 w[i] = p; 69 } 70 fo(i, 1, n) v[w[i]] = a[i][n + 1] / a[i][w[i]]; 71 return 1; 72 } 73 int main() { // by Lanly 74 readint(n); 75 fo(i, 1, n) fo(j, 1, n + 1) a[i][j] = read(); 76 //fo(i, 1, n) fo(j, 1, n + 1) printf("%.2lf%c", a[i][j], j == n + 1 ? '\n' : ' '); 77 if (gauss()) fo(i, 1, n) printf("%.2lf\n", v[i]); 78 else puts("No Solution"); 79 return 0; 80 } 神奇的代碼

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Lanly/p/11560151.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高斯消元小小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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