斐波那契數列，其最開始的幾項是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… ，后面的每一項是前兩項之和，事實上，斐波那契在數學上有自己的嚴格遞歸定義。

f0 = 0 f1 = 1 f(n) = f(n-1) + f(n-2)

斐波那契數列其實有很多有趣的性質，比如你拿斐波那契里每項數為半徑繪制1/4圓弧，你就會得到著名的黃金螺旋線。

上圖只是繪制到了10多項，如果繼續繪制，會變成下面這樣。。

另外斐波那契數還有一個神奇的性質，f(n-1)/f(n)約等于黃金分割比例，n越大，其越接近黃金分割比0.6180339887…… 。

扯遠了，回到今天的正題，如何求斐波那契數列第n項，如果作為面試題的話，也可以考察候選人很多方面，比如遞歸、優化、數學…… 當然現在大廠面試時很大可能也不會直接出斐波那契了，而是可能出現其變形，文末會給出幾個相關參考題。

求解斐波那契數列第n項有很多種方式

遞歸求解

根據其遞歸定義，我們很容易寫出以下遞歸函數來計算斐波那契第n項。

private static long fibonacci(int n) {if (n == 0) {return 0L;}if (n == 1) {return 1L;}return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); }

雖然按其數學定義來看，代碼是沒問題，但這種實現效率非常低，存在著大量的重復計算，不信你用你自己電腦執行下fibonacci(30) 試試！ 哦，對了，如果面試官讓你分析下上述代碼的時間復雜度，你會分析嗎？？

fib(5) / fib(4) fib(3) / / fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)/ / / fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)/ fib(1) fib(0)

像上圖中，fib(3) fib(2) 被重復計算多次，實際上對于任意n，其n-2節點都會出現在其左右子樹中。大致看起來遞歸求斐波那契數列的時間復雜度為O(2^n)，這個也不是精確上界，精確證明見遞歸求解斐波那契數列的時間復雜度——幾種簡潔證明
當然遞歸版本也有有方法優化的，我們之前打ACM的時候有種方法叫做記憶化搜索，其本質上就是把計算結果緩存下來，下次用的時候就直接取，而不是重復計算，這樣可以避免上述代碼中大量的重復計算，可以將其時間復雜度從O(2^n) 降至 O(n)。針對上面代碼的改動也很簡單，你可以自己試試（提示：就是加個全局數組保證下結果）。

遞推求解

我們在解決問題的時候，逆向思維也很重要，逆向思維往往能找到更高效直接的解決方案。上述遞歸的方式其實是從后往前計算，事實上我們可以從前往后計算。居然我們已知f0和f1，那我們就可以算出f2，緊接著算出f3 f4，一直到fn。

private static long fibonacci(int n) {long[] fb = new long[n+1];fb[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {fb[i] = fb[i-1] + fb[i-2];}return fb[n];}

不過上述代碼依舊有優化空間。我們計算fb[i]只需要fb[i-1]和fb[i-2]兩項即可，是不是0到i-3都白存了！其實只需要保存長度為2的滑動窗口即可，優化后代碼如下：

private static long fibonacci(int n) {if (n < 2) {return n;}long fa = 0L;long fb = 1L;long fc = fa + fb;for (int i = 2; i < n; i++) {fc = fa + fb; fa = fb;fb = fc;}return fc;}

比內公式

其實斐波那契第n項是有計算公式的，稱為比內公式，如下：

在維基百科Fibonacci number上有嚴格的證明過程，有興趣可以參考下。但這個公式其實并不適合計算機來計算。首先，根號5是個無理浮點數，眾所周知當今的計算機在處理浮點數時是有精度損失的，另外計算機計算浮點數的速度也比較慢。當然，你也別惦記著把這個公式背下來，你面試過程中不一定能想起來這個，當然如果你是數學大牛的話，你可以參考下推導過程，直接在面試現場把結論推導出來，肯定能唬住大部分面試官的。

矩陣冪運算

上面已經說了比內公式有低效和精度損失的問題，我這里當然有更牛x的方案了，那就是借助矩陣的運算來解決，借助如下公式，我們可以計算出斐波那契的第n項。

如果再進一步，公式可以化簡為：

具體推導過程見維基百科Fibonacci number，當然這里我直接用octave驗證過了，毫無問題。 >>fb = [1,1;1,0] fb =1 11 0>>fb^10 ans =89 5555 34>>fb^30 ans =1346269 832040832040 514229

小學三年級的時候我們學過求n次方的快速冪算法，可以把求n次方的時間復雜度從O(n)降低到O(log(n))，對于矩陣我們當然也可以用快速冪算法(不知道快速冪的同學可以去復習下了)。

// 快速求矩陣的n次方 private static long[][] pow(long[][] matrix, int n) {if (n == 1) {return matrix;}long[][] res = pow(matrix, n/2);res = multi(res, res);if (n%2 == 1) {res = multi(res, matrix);}return res;}// 兩個矩陣相乘 private static long[][] multi(long[][] m1, long[][] m2) {long[][] res = new long[2][2];res[0][0] = m1[0][0]*m2[0][0] + m1[0][1]*m2[1][0];res[0][1] = m1[0][0]*m2[0][1] + m1[0][1]*m2[1][1];res[1][0] = m1[1][0]*m2[0][0] + m1[1][1]*m2[1][0];res[1][1] = m1[1][0]*m2[0][1] + m1[1][1]*m2[1][1];return res;}public static void main(String[] args) {long[][] fb = {{1,1},{1,0}};long[][] res = pow(fb, 10);System.out.println(res[0][1]);}

上述幾種解法把時間復雜度從O(2^n)降低到了O(log(n))，實際上還有O(1)的解法。斐波那契數列其實是一個增長很快的數列，n用不了多大就會超過int甚至long所能表示的范圍(n大概幾十就會溢出)，所以可以直接存下來，用的時候直接取，用空間換時間，從而達到O(1)的時間復雜度。

面試題擴展

求斐波那契第n項雖然看起來很基礎，但它也有著很高級的解法，平凡中蘊藏著不凡。事實上，你現在出去面試，大概率不會遇到面試官直接問你斐波那契，而是其變形題或是和其他內容融合的題，比如：

你每次可以上1級臺階，或者2級臺階，問：上到第n級臺階總共有多少種不同的路徑？

fib(i)對應的是斐波那契的第i項，找到所有第fin(i)個素數(i<=20)，比如fib(20)是6765，第6765個素數是67931。

歡迎關注我的面試專欄面試題精選，永久免費 持續更新，本專欄會收集我遇到的比較經典面試題，除了提供詳盡的解法外還會從面試官的角度提供擴展題，希望能幫助大家找到更好的工作。另外，也征集面試題，如果你遇到了不會的題 私信告訴我，有價值的題我會給你出一篇博客。
本文來自https://blog.csdn.net/xindoo

總結

以上是生活随笔為你收集整理的fibonacci数列前20项_面试题精选:神奇的斐波那契数列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。