第2章泛函的極值

第2章 泛函的極值

, , 如果, 當(dāng) (或者說)時(shí), 有

那么, 我們稱在處是連續(xù)的, 記為。

2.1.2 函數(shù)的可微性

更進(jìn)一步, 如果存在, 使得

那么我們稱在處是可微的, 或者說存在(一階)導(dǎo)數(shù),記為

或者記為

其中為梯度算子(或者Hamilton算子, 見附1)。同理, 可以定義該函數(shù)的兩階導(dǎo)數(shù)

及更高階導(dǎo)數(shù)。 這里也稱為Jacobi矩陣。

如果函數(shù)在某點(diǎn)足夠光滑, 那么我們就可以在該點(diǎn)附近把函數(shù)作以下的展開

其中為高階小量, 分別為函數(shù)的一階微分和兩階微分。

換個(gè)角度來看, 如果

其中為的線性函數(shù), 而為的兩次函數(shù), 那么為的一階微分, 為的兩階微分。

2.1.3 函數(shù)的極值

對(duì)于足夠小的, 如果，總有, 那么我們稱在有極大值。 如果，總有, 那么我們稱在有極小值。這里為的鄰域。

如果在某一點(diǎn)附近足夠光滑, 那么在有極值的必要條件為

或者說

更進(jìn)一步, 如果, 那么在有極大(小)值的充分條件為

或者說是

其中表示是負(fù)定矩陣。

2.2泛函的極值

2.2.1函數(shù)的鄰域

定義在區(qū)間上的函數(shù)的一階鄰域定義為: 對(duì)于, 始終滿足

我們稱同時(shí)滿足上述兩式的函數(shù)的集合是的一階鄰域。同樣可以定義函數(shù)的高階鄰域。

2.2.2泛函的極值

變分引理: 如果函數(shù), 對(duì)于在上滿足的、足夠光滑的任意函數(shù), 如果總是成立

那么在必有

證明: 用反證法。 假設(shè)有使得, 不失一般性設(shè) 。由, 一定存在, 使

這樣我們總可以構(gòu)造下面一個(gè)連續(xù)函數(shù)

其中

可以證明

這樣

顯然與引理?xiàng)l件矛盾, 所以對(duì)于任意的都有

以上結(jié)果容易推廣到二維或更高維的情形。

如果泛函在的一階鄰域內(nèi)都不大(小)于, 那么我們稱泛函在有極大(小)值。 也就是說

, (2.2.1)

使取到極值的函數(shù)稱為極值函數(shù)。

下面從最簡(jiǎn)單的泛函來討論使泛函取到極值的必要條件。

如果使取到極值, 則對(duì)于的一階鄰域內(nèi)的函數(shù)應(yīng)有

或者

現(xiàn)在用變分引理導(dǎo)出泛函取極值的必要條件。取

由于, 因此

當(dāng)足夠小的時(shí)候, 屬于的鄰域。當(dāng)以及給定以后, 應(yīng)該是關(guān)于的函數(shù)

因?yàn)樵谔幦O值, 應(yīng)該是的極值點(diǎn)。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件

這就意味著

如果令

那么有

考慮到的任意性，根據(jù)變分引理有

(2.2.2)

這就是該泛函極值問題的Euler方程。

如果只限定、而放松處的要求，則定義域 (2.2.3)

若是泛函在上的極值，限定

則必是泛函在上的極值，根據(jù)(2.2.2) (2.2.4)

代入(2.2.3)并考慮的任意性可得

(2.2.5)

要使在處取極值, 那么意味著必須同時(shí)滿足(2.2.4)和(2.2.5)

對(duì)于更一般的泛函我們同樣可以得到下面的泛函極值定理。

定理2.1 如果泛函在上達(dá)到極值，那么泛函在上的一階變分滿足

證明：

根據(jù)泛函極值的定義，如果泛函在上達(dá)到極大值, 那么必定存在的一個(gè)領(lǐng)域, 對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)的任何一個(gè)函數(shù), 使得泛函的增量不變號(hào), 由前面的推導(dǎo)(1.4.6)

其中

顯然, 當(dāng)充分小時(shí), 的符號(hào)由部分確定。如果, 我們總是可以調(diào)整的符號(hào)使得改變符號(hào), 這與假設(shè)矛盾。 因此是泛函有極值的必要條件。

盡管不是泛函有極值的充分條件，但往往仍有意義。對(duì)于僅僅滿足的泛函，我們稱在該點(diǎn)取駐值。

2.2.3 泛函的Euler方程

由泛函所得到的微分方程(包括邊界條件)稱為泛函的Euler方程。

例2.1

的Euler方程為

例2.2

得到

上式稱為Sturm-Liouville方程。結(jié)合邊界條件, 構(gòu)成第一邊值問題的Sturm-Liouville問題。

例2.3

上述泛函可以寫成

其一階變分為

根據(jù)格林公式有

當(dāng)邊界上值給定時(shí), ，可以得到相應(yīng)的Euler方程

這是一個(gè)Laplace 方程。如果只在部分邊界上給定函數(shù)值，這里，則除上述的Laplace 方程外還應(yīng)滿足

例2.4

其中及其法向?qū)?shù)在的邊界上

總結(jié)

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