什么是約瑟夫環(huán)問題？

約瑟夫問題是個(gè)著名的問題：N個(gè)人圍成一圈，第一個(gè)人從1開始報(bào)數(shù)，報(bào)M的將被殺掉，下一個(gè)人接著從1開始報(bào)。如此反復(fù)，最后剩下一個(gè)，求最后的勝利者。
例如只有三個(gè)人，把他們叫做A、B、C，他們圍成一圈，從A開始報(bào)數(shù)，假設(shè)報(bào)2的人被殺掉。

• 首先A開始報(bào)數(shù)，他報(bào)1。僥幸逃過一劫。
• 然后輪到B報(bào)數(shù)，他報(bào)2。非常慘，他被殺了
• C接著從1開始報(bào)數(shù)
• 接著輪到A報(bào)數(shù)，他報(bào)2。也被殺死了。
• 最終勝利者是C

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解決約瑟夫環(huán)問題，我們首先來分析一下！

1）普通解法

剛學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的時(shí)候，我們可能用鏈表的方法去模擬這個(gè)過程，N個(gè)人看作是N個(gè)鏈表節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1指向節(jié)點(diǎn)2，節(jié)點(diǎn)2指向節(jié)點(diǎn)3，……，節(jié)點(diǎn)N-1指向節(jié)點(diǎn)N，節(jié)點(diǎn)N指向節(jié)點(diǎn)1，這樣就形成了一個(gè)環(huán)。然后從節(jié)點(diǎn)1開始1、2、3……往下報(bào)數(shù)，每報(bào)到M，就把那個(gè)節(jié)點(diǎn)從環(huán)上刪除。下一個(gè)節(jié)點(diǎn)接著從1開始報(bào)數(shù)。最終鏈表僅剩一個(gè)節(jié)點(diǎn)。它就是最終的勝利者。

缺點(diǎn)：

要模擬整個(gè)游戲過程，時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(nm)，當(dāng)n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時(shí)候，幾乎是沒有辦法在短時(shí)間內(nèi)出結(jié)果的。

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2）公式法

約瑟夫環(huán)是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的依次報(bào)數(shù)，似乎有規(guī)律可循。為了方便導(dǎo)出遞推式，我們重新定義一下題目。
問題： N個(gè)人編號(hào)為1，2，……，N，依次報(bào)數(shù)，每報(bào)到M時(shí)，殺掉那個(gè)人，求最后勝利者的編號(hào)。

這邊我們先把結(jié)論拋出了。之后帶領(lǐng)大家一步一步的理解這個(gè)公式是什么來的。
遞推公式：

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f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%N?f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%N

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• f(N,M)?f(N,M) 表示，N個(gè)人報(bào)數(shù)，每報(bào)到M時(shí)殺掉那個(gè)人，最終勝利者的編號(hào)
• f(N?1,M)?f(N?1,M) 表示，N-1個(gè)人報(bào)數(shù)，每報(bào)到M時(shí)殺掉那個(gè)人，最終勝利者的編號(hào)

下面我們不用字母表示每一個(gè)人，而用數(shù)字。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11?1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11個(gè)人，他們先排成一排，假設(shè)每報(bào)到3的人被殺掉。

• 剛開始時(shí)，頭一個(gè)人編號(hào)是1，從他開始報(bào)數(shù)，第一輪被殺掉的是編號(hào)3的人。
• 編號(hào)4的人從1開始重新報(bào)數(shù)，這時(shí)候我們可以認(rèn)為編號(hào)4這個(gè)人是隊(duì)伍的頭。第二輪被殺掉的是編號(hào)6的人。
• 編號(hào)7的人開始重新報(bào)數(shù)，這時(shí)候我們可以認(rèn)為編號(hào)7這個(gè)人是隊(duì)伍的頭。第三輪被殺掉的是編號(hào)9的人。
• ……
• 第九輪時(shí)，編號(hào)2的人開始重新報(bào)數(shù)，這時(shí)候我們可以認(rèn)為編號(hào)2這個(gè)人是隊(duì)伍的頭。這輪被殺掉的是編號(hào)8的人。
• 下一個(gè)人還是編號(hào)為2的人，他從1開始報(bào)數(shù)，不幸的是他在這輪被殺掉了。
• 最后的勝利者是編號(hào)為7的人。

下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）

現(xiàn)在再來看我們遞推公式是怎么得到的！
將上面表格的每一行看成數(shù)組，這個(gè)公式描述的是：幸存者在這一輪的下標(biāo)位置

• f(1,3)?f(1,3) ：只有1個(gè)人了，那個(gè)人就是獲勝者，他的下標(biāo)位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1?f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1 ：在有2個(gè)人的時(shí)候，勝利者的下標(biāo)位置為1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1?f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1 ：在有3個(gè)人的時(shí)候，勝利者的下標(biāo)位置為1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0?f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0 ：在有4個(gè)人的時(shí)候，勝利者的下標(biāo)位置為0
• ……
• f(11,3)=6?f(11,3)=6

很神奇吧！現(xiàn)在你還懷疑這個(gè)公式的正確性嗎？上面這個(gè)例子驗(yàn)證了這個(gè)遞推公式的確可以計(jì)算出勝利者的下標(biāo)，下面將講解怎么推導(dǎo)這個(gè)公式。
問題1：假設(shè)我們已經(jīng)知道11個(gè)人時(shí)，勝利者的下標(biāo)位置為6。那下一輪10個(gè)人時(shí)，勝利者的下標(biāo)位置為多少？
答：其實(shí)吧，第一輪刪掉編號(hào)為3的人后，之后的人都往前面移動(dòng)了3位，勝利這也往前移動(dòng)了3位，所以他的下標(biāo)位置由6變成3。

問題2：假設(shè)我們已經(jīng)知道10個(gè)人時(shí)，勝利者的下標(biāo)位置為3。那下一輪11個(gè)人時(shí)，勝利者的下標(biāo)位置為多少？
答：這可以看錯(cuò)是上一個(gè)問題的逆過程，大家都往后移動(dòng)3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3?f(11,3)=f(10,3)+3 。不過有可能數(shù)組會(huì)越界，所以最后模上當(dāng)前人數(shù)的個(gè)數(shù)，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11?f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

問題3：現(xiàn)在改為人數(shù)改為N，報(bào)到M時(shí)，把那個(gè)人殺掉，那么數(shù)組是怎么移動(dòng)的？
答：每殺掉一個(gè)人，下一個(gè)人成為頭，相當(dāng)于把數(shù)組向前移動(dòng)M位。若已知N-1個(gè)人時(shí)，勝利者的下標(biāo)位置位f(N?1,M)?f(N?1,M) ，則N個(gè)人的時(shí)候，就是往后移動(dòng)M為，(因?yàn)橛锌赡軘?shù)組越界，超過的部分會(huì)被接到頭上，所以還要模N)，既f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%n?f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%n

注：理解這個(gè)遞推式的核心在于關(guān)注勝利者的下標(biāo)位置是怎么變的。每殺掉一個(gè)人，其實(shí)就是把這個(gè)數(shù)組向前移動(dòng)了M位。然后逆過來，就可以得到這個(gè)遞推式。

因?yàn)榍蟪龅慕Y(jié)果是數(shù)組中的下標(biāo)，最終的編號(hào)還要加1。

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劍指offer題目：每年六一兒童節(jié),牛客都會(huì)準(zhǔn)備一些小禮物去看望孤兒院的小朋友,今年亦是如此。HF作為牛客的資深元老,自然也準(zhǔn)備了一些小游戲。其中,有個(gè)游戲是這樣的:首先,讓小朋友們圍成一個(gè)大圈。然后,他隨機(jī)指定一個(gè)數(shù)m,讓編號(hào)為0的小朋友開始報(bào)數(shù)。每次喊到m-1的那個(gè)小朋友要出列唱首歌,然后可以在禮品箱中任意的挑選禮物,并且不再回到圈中,從他的下一個(gè)小朋友開始,繼續(xù)0...m-1報(bào)數(shù)....這樣下去....直到剩下最后一個(gè)小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名貴的“名偵探柯南”典藏版(名額有限哦!!^_^)。請(qǐng)你試著想下,哪個(gè)小朋友會(huì)得到這份禮品呢？ (注：小朋友的編號(hào)是從0到n-1)

拿到這一題，對(duì)比上面的兩種思路：

1）使用數(shù)組模仿一個(gè)環(huán)。

2）使用公式遞歸求解。

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首先看第一種思路：

class Solution { public:int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m){/*每輪被select的數(shù)被設(shè)置成-1；超出數(shù)組范圍的，回到數(shù)組起點(diǎn)，模仿一個(gè)環(huán)；每次再次走到之前select的數(shù)的時(shí)候，就continue；*///if(n<1||m<1) return -1;int* array = new int[n];int i = -1, step = 0, count = n;while(count>0){i++;if(i>=n) i = 0;//模仿一個(gè)環(huán)if(array[i]==-1) continue;//每次再走到之前select的數(shù)時(shí)，就continue；step++;if(step == m){array[i] = -1; //每輪被select的數(shù)被設(shè)置成-1；step = 0;count--;}}return i; //此題小朋友的編號(hào)是從0到n-1} };

再看第二種思路：

class Solution { public:int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m){if(n==0)return -1;if(n==1)return 0;elsereturn (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;} };

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的剑指offer：约瑟夫环的问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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