總結(jié)：

基于鏈表的查詢由于不能使用二分查找算法，因此需要挨個(gè)遍歷鏈表元素對(duì)比定位。插入和刪除操作雖然只需要進(jìn)行指針的變換，但首先還是要定位到插入位置，因此當(dāng)鏈表的數(shù)據(jù)量比較大的時(shí)候，就會(huì)出現(xiàn)效率很低，非常的耗時(shí)。

為了減少遍歷時(shí)比較的次數(shù)，提出將鏈表中部分的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)提取出來。例如1-2-3-4-5-6-7-9，將奇數(shù)點(diǎn)1-3-5-7-9提取出來作為關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)我要插入8的時(shí)候，就只需要和1，3，5，7，9進(jìn)行比較而不用和2，4，6比較，這樣一來就減少了比較的次數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)量比較大的時(shí)候，這種效率的提高就會(huì)比較明顯。這是一種以空間換取時(shí)間的策略。其實(shí)這就相當(dāng)于將1-3-5-7-9提取出來作為一級(jí)索引，接下來還可以繼續(xù)抽取關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行二級(jí)索引，三級(jí)索引...等等。每建立一層索引比較次數(shù)就會(huì)降低為原先的1/2.?

當(dāng)新插入很多節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，之前的上層節(jié)點(diǎn)的索引關(guān)鍵點(diǎn)就會(huì)不夠用，就要考慮在每當(dāng)在新插入關(guān)鍵點(diǎn)的時(shí)候就要從新關(guān)鍵點(diǎn)中選取一部分提到上一層。至于怎么提法？由于跳躍表的添加和刪除關(guān)鍵點(diǎn)是不可預(yù)測的，很難用一種有效的算法來保證跳表的索引部分始終均勻，因此給出的方法是使用拋硬幣的概率事件來決定，由于在大樣本的情況下，正反面的概率都會(huì)趨近0.5，可以使得大體趨近均勻。

跳躍表插入關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)鍵步驟大概如下：

1）首先新關(guān)鍵點(diǎn)和各層的索引關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行比較，確定在原鏈表（最底層鏈表）中需要插入的位置。O(logn)

2) 把新關(guān)鍵點(diǎn)插入到原鏈表；

3）利用拋硬幣的隨機(jī)方式?jīng)Q定新關(guān)鍵點(diǎn)是否需要提升為上一層的索引。結(jié)果為正則繼續(xù)提升，為負(fù)則停止提升。

因此跳躍表的插入時(shí)間復(fù)雜度是O(logn)，空間復(fù)雜度是O(n)

跳躍表刪除關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)鍵步驟大概如下：

1）首先自上而下，查找第一次出現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)的索引，并逐層找到每一層對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)。O(logn)

2）刪除每一層查找到的關(guān)鍵點(diǎn)，如果該層只剩下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，刪除當(dāng)前整個(gè)索引層（原鏈表層除外）

跳躍表刪除操作的時(shí)間復(fù)雜度是O（logN）

?

為什么選擇跳表

目前經(jīng)常使用的平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有：B樹，紅黑樹，AVL樹，Splay Tree, Treep等。

想象一下，給你一張草稿紙，一只筆，一個(gè)編輯器，你能立即實(shí)現(xiàn)一顆紅黑樹，或者AVL樹

出來嗎？ 很難吧，這需要時(shí)間，要考慮很多細(xì)節(jié)，要參考一堆算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之類的樹，

還要參考網(wǎng)上的代碼，相當(dāng)麻煩。

用跳表吧，跳表是一種隨機(jī)化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，目前開源軟件 Redis 和 LevelDB 都有用到它，

它的效率和紅黑樹以及 AVL 樹不相上下，但跳表的原理相當(dāng)簡單，只要你能熟練操作鏈表，

就能輕松實(shí)現(xiàn)一個(gè) SkipList。

有序表的搜索

考慮一個(gè)有序表：

從該有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比較的次數(shù)分別為 < 2, 4, 6 >，總共比較的次數(shù)

為 2 + 4 + 6 = 12 次。有沒有優(yōu)化的算法嗎???鏈表是有序的，但不能使用二分查找。類似二叉

搜索樹，我們把一些節(jié)點(diǎn)提取出來，作為索引。得到如下結(jié)構(gòu)：

這里我們把 < 14, 34, 50, 72 > 提取出來作為一級(jí)索引，這樣搜索的時(shí)候就可以減少比較次數(shù)了。

我們還可以再從一級(jí)索引提取一些元素出來，作為二級(jí)索引，變成如下結(jié)構(gòu)：

這里元素不多，體現(xiàn)不出優(yōu)勢，如果元素足夠多，這種索引結(jié)構(gòu)就能體現(xiàn)出優(yōu)勢來了。

這基本上就是跳表的核心思想，其實(shí)也是一種通過“空間來換取時(shí)間”的一個(gè)算法，通過在每個(gè)節(jié)點(diǎn)中增加了向前的指針，從而提升查找的效率。

跳表

下面的結(jié)構(gòu)是就是跳表：

其中 -1 表示 INT_MIN， 鏈表的最小值，1 表示 INT_MAX，鏈表的最大值。

跳表具有如下性質(zhì)：

(1) 由很多層結(jié)構(gòu)組成

(2) 每一層都是一個(gè)有序的鏈表

(3) 最底層(Level 1)的鏈表包含所有元素

(4) 如果一個(gè)元素出現(xiàn)在 Level i 的鏈表中，則它在 Level i 之下的鏈表也都會(huì)出現(xiàn)。

(5) 每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含兩個(gè)指針，一個(gè)指向同一鏈表中的下一個(gè)元素，一個(gè)指向下面一層的元素。

跳表的搜索

例子：查找元素 117

(1) 比較 21， 比 21 大，往后面找

(2) 比較 37,???比 37大，比鏈表最大值小，從 37 的下面一層開始找

(3) 比較 71,??比 71 大，比鏈表最大值小，從 71 的下面一層開始找

(4) 比較 85， 比 85 大，從后面找

(5) 比較 117， 等于 117， 找到了節(jié)點(diǎn)。

具體的搜索算法如下：

C代碼

1.

3. find(x)??

4. {?

5.?????p = top;?

6.?while?(1) {?

7.?while?(p->next->key < x)?

8.?????????????p = p->next;?

9.?if?(p->down == NULL)??

10.?return?p->next;?

11.?????????p = p->down;?

12.?????}?

13. }?

跳表的插入

先確定該元素要占據(jù)的層數(shù) K（采用丟硬幣的方式，這完全是隨機(jī)的）

然后在 Level 1 ... Level K 各個(gè)層的鏈表都插入元素。

例子：插入 119， K = 2

如果 K 大于鏈表的層數(shù)，則要添加新的層。

例子：插入 119， K = 4

丟硬幣決定?K

插入元素的時(shí)候，元素所占有的層數(shù)完全是隨機(jī)的，通過一下隨機(jī)算法產(chǎn)生：

C代碼

1.?int?random_level()?

2. {?

3.?????K = 1;?

4.

5.?while?(random(0,1))?

6.?????????K++;?

7.

8.?return?K;?

9. }?

相當(dāng)與做一次丟硬幣的實(shí)驗(yàn)，如果遇到正面，繼續(xù)丟，遇到反面，則停止，

用實(shí)驗(yàn)中丟硬幣的次數(shù) K 作為元素占有的層數(shù)。顯然隨機(jī)變量 K 滿足參數(shù)為 p = 1/2 的幾何分布，

幾何分布的期望值為E[K] = 1/p

因此，K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是說，各個(gè)元素的層數(shù)，期望值是 2 層。

跳表的高度。

n 個(gè)元素的跳表，每個(gè)元素插入的時(shí)候都要做一次實(shí)驗(yàn)，用來決定元素占據(jù)的層數(shù) K，

跳表的高度等于這 n 次實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的最大 K。

?

跳表的空間復(fù)雜度分析

根據(jù)上面的分析，每個(gè)元素的期望高度為 2， 一個(gè)大小為 n 的跳表，其節(jié)點(diǎn)數(shù)目的

期望值是 2n。

跳表的刪除

在各個(gè)層中找到包含 x 的節(jié)點(diǎn)，使用標(biāo)準(zhǔn)的 delete from list 方法刪除該節(jié)點(diǎn)。

例子：刪除 71

?

---

引言：

上周現(xiàn)場面試阿里巴巴研發(fā)工程師終面，被問到如何讓鏈表的元素查詢接近線性時(shí)間。筆者苦思良久，繳械投降。面試官告知回去可以看一下跳躍表，遂出此文。

?

跳躍表的引入

我們知道，普通單鏈表查詢一個(gè)元素的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，即使該單鏈表是有序的，我們也不能通過2分的方式縮減時(shí)間復(fù)雜度。

?

?

如上圖，我們要查詢?cè)貫?5的結(jié)點(diǎn)，必須從頭結(jié)點(diǎn)，循環(huán)遍歷到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)，不算-INF(負(fù)無窮)一共查詢8次。那么用什么辦法能夠用更少的次數(shù)訪問55呢？最直觀的，當(dāng)然是新開辟一條捷徑去訪問55。

?

?

如上圖，我們要查詢?cè)貫?5的結(jié)點(diǎn)，只需要在L2層查找4次即可。在這個(gè)結(jié)構(gòu)中，查詢結(jié)點(diǎn)為46的元素將耗費(fèi)最多的查詢次數(shù)5次。即先在L2查詢46，查詢4次后找到元素55，因?yàn)殒湵硎怯行虻?#xff0c;46一定在55的左邊，所以L2層沒有元素46。然后我們退回到元素37，到它的下一層即L1層繼續(xù)搜索46。非常幸運(yùn)，我們只需要再查詢1次就能找到46。這樣一共耗費(fèi)5次查詢。

?

那么，如何才能更快的搜尋55呢？有了上面的經(jīng)驗(yàn)，我們就很容易想到，再開辟一條捷徑。

如上圖，我們搜索55只需要2次查找即可。這個(gè)結(jié)構(gòu)中，查詢?cè)?6仍然是最耗時(shí)的，需要查詢5次。即首先在L3層查找2次，然后在L2層查找2次，最后在L1層查找1次，共5次。很顯然，這種思想和2分非常相似，那么我們最后的結(jié)構(gòu)圖就應(yīng)該如下圖。

?

?

我們可以看到，最耗時(shí)的訪問46需要6次查詢。即L4訪問55，L3訪問21、55，L2訪問37、55，L1訪問46。我們直覺上認(rèn)為，這樣的結(jié)構(gòu)會(huì)讓查詢有序鏈表的某個(gè)元素更快。那么究竟算法復(fù)雜度是多少呢？

?

如果有n個(gè)元素，因?yàn)槭?分，所以層數(shù)就應(yīng)該是log n層 (本文所有l(wèi)og都是以2為底)，再加上自身的1層。以上圖為例，如果是4個(gè)元素，那么分層為L3和L4，再加上本身的L2，一共3層；如果是8個(gè)元素，那么就是3+1層。最耗時(shí)間的查詢自然是訪問所有層數(shù)，耗時(shí)logn+logn，即2logn。為什么是2倍的logn呢？我們以上圖中的46為例，查詢到46要訪問所有的分層，每個(gè)分層都要訪問2個(gè)元素，中間元素和最后一個(gè)元素。所以時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。

?

至此為止，我們引入了最理想的跳躍表，但是如果想要在上圖中插入或者刪除一個(gè)元素呢？比如我們要插入一個(gè)元素22、23、24……，自然在L1層，我們將這些元素插入在元素21后，那么L2層，L3層呢？我們是不是要考慮插入后怎樣調(diào)整連接，才能維持這個(gè)理想的跳躍表結(jié)構(gòu)。我們知道，平衡二叉樹的調(diào)整是一件令人頭痛的事情，左旋右旋左右旋……一般人還真記不住，而調(diào)整一個(gè)理想的跳躍表將是一個(gè)比調(diào)整平衡二叉樹還復(fù)雜的操作。幸運(yùn)的是，我們并不需要通過復(fù)雜的操作調(diào)整連接來維護(hù)這樣完美的跳躍表。有一種基于概率統(tǒng)計(jì)的插入算法，也能得到時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)的查詢效率，這種跳躍表才是我們真正要實(shí)現(xiàn)的。

?

容易實(shí)現(xiàn)的跳躍表

容易實(shí)現(xiàn)的跳躍表，它允許簡單的插入和刪除元素，并提供O(logn)的查詢時(shí)間復(fù)雜度，以下我們簡稱為跳躍表。

?

先討論插入，我們先看理想的跳躍表結(jié)構(gòu)，L2層的元素個(gè)數(shù)是L1層元素個(gè)數(shù)的1/2，L3層的元素個(gè)數(shù)是L2層的元素個(gè)數(shù)的1/2，以此類推。從這里，我們可以想到，只要在插入時(shí)盡量保證上一層的元素個(gè)數(shù)是下一層元素的1/2，我們的跳躍表就能成為理想的跳躍表。那么怎么樣才能在插入時(shí)保證上一層元素個(gè)數(shù)是下一層元素個(gè)數(shù)的1/2呢？很簡單，拋硬幣就能解決了！假設(shè)元素X要插入跳躍表，很顯然，L1層肯定要插入X。那么L2層要不要插入X呢？我們希望上層元素個(gè)數(shù)是下層元素個(gè)數(shù)的1/2，所以我們有1/2的概率希望X插入L2層，那么拋一下硬幣吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相對(duì)于L2層，我們還是希望1/2的概率插入，那么繼續(xù)拋硬幣吧！以此類推，元素X插入第n層的概率是(1/2)的n次。這樣，我們能在跳躍表中插入一個(gè)元素了。

?

在此還是以上圖為例：跳躍表的初試狀態(tài)如下圖，表中沒有一個(gè)元素：

?

?

如果我們要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下圖：

?

?

然后我們拋硬幣，結(jié)果是正面，那么我們要將2插入到L2層，如下圖

?

?

繼續(xù)拋硬幣，結(jié)果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表結(jié)構(gòu)就是上圖所示。接下來，我們插入元素33，跟元素2的插入一樣，現(xiàn)在L1層插入33，如下圖：

?

?

然后拋硬幣，結(jié)果是反面，那么元素33的插入操作就結(jié)束了，插入后的表結(jié)構(gòu)就是上圖所示。接下來，我們插入元素55，首先在L1插入55，插入后如下圖：

?

?

然后拋硬幣，結(jié)果是正面，那么L2層需要插入55，如下圖：

?

?

繼續(xù)拋硬幣，結(jié)果又是正面，那么L3層需要插入55，如下圖：

?

?

繼續(xù)拋硬幣，結(jié)果又是正面，那么要在L4插入55，結(jié)果如下圖：

?

?

繼續(xù)拋硬幣，結(jié)果是反面，那么55的插入結(jié)束，表結(jié)構(gòu)就如上圖所示。

?

以此類推，我們插入剩余的元素。當(dāng)然因?yàn)橐?guī)模小，結(jié)果很可能不是一個(gè)理想的跳躍表。但是如果元素個(gè)數(shù)n的規(guī)模很大，學(xué)過概率論的同學(xué)都知道，最終的表結(jié)構(gòu)肯定非常接近于理想跳躍表。

?

當(dāng)然，這樣的分析在感性上是很直接的，但是時(shí)間復(fù)雜度的證明實(shí)在復(fù)雜，在此我就不深究了，感興趣的可以去看關(guān)于跳躍表的paper。

?

再討論刪除，刪除操作沒什么講的，直接刪除元素，然后調(diào)整一下刪除元素后的指針即可。跟普通的鏈表刪除操作完全一樣。

?

再來討論一下時(shí)間復(fù)雜度，插入和刪除的時(shí)間復(fù)雜度就是查詢?cè)夭迦胛恢玫臅r(shí)間復(fù)雜度，這不難理解，所以是O(logn)。

?

Java實(shí)現(xiàn)

在章節(jié)2中，我們采用拋硬幣的方式來決定新元素插入的最高層數(shù)，這當(dāng)然不能在程序中實(shí)現(xiàn)。代碼中，我們采用隨機(jī)數(shù)生成的方式來獲取新元素插入的最高層數(shù)。我們先估摸一下n的規(guī)模，然后定義跳躍表的最大層數(shù)maxLevel，那么底層，也就是第0層，元素是一定要插入的，概率為1；最高層，也就是maxLevel層，元素插入的概率為1/2^maxLevel。

?

我們先隨機(jī)生成一個(gè)范圍為0~2^maxLevel-1的一個(gè)整數(shù)r。那么元素r小于2^(maxLevel-1)的概率為1/2，r小于2^(maxLevel-2)的概率為1/4，……，r小于2的概率為1/2^(maxLevel-1)，r小于1的概率為1/2^maxLevel。

?

舉例，假設(shè)maxLevel為4，那么r的范圍為0~15，則r小于8的概率為1/2，r小于4的概率為1/4，r小于2的概率為1/8，r小于1的概率為1/16。1/16正好是maxLevel層插入元素的概率，1/8正好是maxLevel層插入的概率，以此類推。

?

通過這樣的分析，我們可以先比較r和1，如果r<1，那么元素就要插入到maxLevel層以下；否則再比較r和2，如果r<2，那么元素就要插入到maxLevel-1層以下；再比較r和4，如果r<4，那么元素就要插入到maxLevel-2層以下……如果r>2^(maxLevel - 1)，那么元素就只要插入在底層即可。

?

以上分析是隨機(jī)數(shù)算法的關(guān)鍵。算法跟實(shí)現(xiàn)跟語言無關(guān)，但是Java程序員還是更容易看明白Java代碼實(shí)現(xiàn)的跳躍表，以下貼一下別人的java代碼實(shí)現(xiàn)。作者找不到了，就這樣吧。

?

1 /*************************** SkipList.java *********************/2 3 import java.util.Random;4 5 public class SkipList<T extends Comparable<? super T>> {6 private int maxLevel;7 private SkipListNode<T>[] root;8 private int[] powers;9 private Random rd = new Random(); 10 SkipList() { 11 this(4); 12 } 13 SkipList(int i) { 14 maxLevel = i; 15 root = new SkipListNode[maxLevel]; 16 powers = new int[maxLevel]; 17 for (int j = 0; j < maxLevel; j++) 18 root[j] = null; 19 choosePowers(); 20 } 21 public boolean isEmpty() { 22 return root[0] == null; 23 } 24 public void choosePowers() { 25 powers[maxLevel-1] = (2 << (maxLevel-1)) - 1; // 2^maxLevel - 1 26 for (int i = maxLevel - 2, j = 0; i >= 0; i--, j++) 27 powers[i] = powers[i+1] - (2 << j); // 2^(j+1) 28 } 29 public int chooseLevel() { 30 int i, r = Math.abs(rd.nextInt()) % powers[maxLevel-1] + 1; 31 for (i = 1; i < maxLevel; i++) 32 if (r < powers[i]) 33 return i-1; // return a level < the highest level; 34 return i-1; // return the highest level; 35 } 36 // make sure (with isEmpty()) that search() is called for a nonempty list; 37 public T search(T key) { 38 int lvl; 39 SkipListNode<T> prev, curr; // find the highest nonnull 40 for (lvl = maxLevel-1; lvl >= 0 && root[lvl] == null; lvl--); // level; 41 prev = curr = root[lvl]; 42 while (true) { 43 if (key.equals(curr.key)) // success if equal; 44 return curr.key; 45 else if (key.compareTo(curr.key) < 0) { // if smaller, go down, 46 if (lvl == 0) // if possible 47 return null; 48 else if (curr == root[lvl]) // by one level 49 curr = root[--lvl]; // starting from the 50 else curr = prev.next[--lvl]; // predecessor which 51 } // can be the root; 52 else { // if greater, 53 prev = curr; // go to the next 54 if (curr.next[lvl] != null) // non-null node 55 curr = curr.next[lvl]; // on the same level 56 else { // or to a list on a lower level; 57 for (lvl--; lvl >= 0 && curr.next[lvl] == null; lvl--); 58 if (lvl >= 0) 59 curr = curr.next[lvl]; 60 else return null; 61 } 62 } 63 } 64 } 65 public void insert(T key) { 66 SkipListNode<T>[] curr = new SkipListNode[maxLevel]; 67 SkipListNode<T>[] prev = new SkipListNode[maxLevel]; 68 SkipListNode<T> newNode; 69 int lvl, i; 70 curr[maxLevel-1] = root[maxLevel-1]; 71 prev[maxLevel-1] = null; 72 for (lvl = maxLevel - 1; lvl >= 0; lvl--) { 73 while (curr[lvl] != null && curr[lvl].key.compareTo(key) < 0) { 74 prev[lvl] = curr[lvl]; // go to the next 75 curr[lvl] = curr[lvl].next[lvl]; // if smaller; 76 } 77 if (curr[lvl] != null && key.equals(curr[lvl].key)) // don't 78 return; // include duplicates; 79 if (lvl > 0) // go one level down 80 if (prev[lvl] == null) { // if not the lowest 81 curr[lvl-1] = root[lvl-1]; // level, using a link 82 prev[lvl-1] = null; // either from the root 83 } 84 else { // or from the predecessor; 85 curr[lvl-1] = prev[lvl].next[lvl-1]; 86 prev[lvl-1] = prev[lvl]; 87 } 88 } 89 lvl = chooseLevel(); // generate randomly level 90 newNode = new SkipListNode<T>(key,lvl+1); // for newNode; 91 for (i = 0; i <= lvl; i++) { // initialize next fields of 92 newNode.next[i] = curr[i]; // newNode and reset to newNode 93 if (prev[i] == null) // either fields of the root 94 root[i] = newNode; // or next fields of newNode's 95 else prev[i].next[i] = newNode; // predecessors; 96 } 97 } 98 }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Redis: 跳跃表的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。