我們今天先來看，什么是“樹”。

樹是由頂點和邊組成的且不存在環的數據結構。作為一個應用非常廣的數據結構，不僅在工作中常用，在面試中也非常常考。

一是因為樹的結構天然決定了它和遞歸聯系緊密，很多樹相關的算法題都非常適合用遞歸來解；

二是因為它的難度介于鏈表和圖之間，非常適合在 45 分鐘的面試里進行考察，所以一場面試中遇到兩三輪問樹都是再正常不過的了。

本文先來講樹的基礎內容，分為以下小節，每個小節開頭都會有思維導圖和對應的?Leetcode算法題喲～

簡介

金融里的二叉樹

樹的所有概念
a. 樹的三大特點
b. 樹的五大品種
c. 高度和深度

看樹的角度
a. 三種?DFS?遍歷方式
b. 兩種?BFS?遍歷方式
c. 四種視圖

簡介

其實數據結構里的“樹”和我們現實世界里的樹挺像的，只不過倒過來了嘛，根朝上。

比如：

在這片森林里，最常用的還是「二叉樹」

二叉樹，是由很多個?TreeNode?構成的這種樹形的數據結構，

class?TreeNode?{int?value;TreeNode?left;TreeNode?right; }

就像鏈表中的?ListNode。

二叉樹并不一定非得是“二叉”的，而是說每個節點最多有兩個孩子，叫?left?和?right，但也可以沒有。

當每個節點都只有一個孩子的時候，就退化成了鏈表。

所以鏈表就是一棵特殊的樹，而樹是一個特殊的圖。

金融里的二叉樹

在金融工程里，二叉樹是用來在風險中性世界里給期權定價使用的模型。

比如這是一個股價二叉樹，其實就是我們把二叉樹放倒了看嘛。

有些小伙伴會發現，這里的節點好像少了很多，沒錯，因為我們讓股價每次上漲和下跌的幅度保持不變，所以到第 n 層最多有 n 個節點，而不會像普通的二叉樹一樣按照等比序列增長。

上圖是兩期的二叉樹，那么最簡單的一期的二叉樹定價模型表示為：

我們假設當前股票的價格為?S，那我們想知道未來某個時刻比如?t 時刻的價格，股價有可能上漲也有可能下跌，還可能不變呢。

在該模型里我們就抽象成兩種可能性，一種是上漲，一種是下跌，所以可以用二叉樹來表示。

假設股票價格會有?p?的概率上漲至?uS,
有?1-p?的概率下跌至?dS.

這里的?p?并不是在真實世界里股票上漲的概率，而是一個在風險中性世界里的上漲概率，所以

股票現在的價格就是未來某時刻的無風險收益的折現，

即：

這就是最簡單的二叉樹定價模型。

那我們言歸正傳。

樹的所有概念

1. 三大特點

樹的三大特點是：

如果把樹看成一個無向圖，那么它是一個連通圖?connected graph.

樹是一個無環圖。

樹的節點個數和邊的個數之間的關系是固定的。如果樹上有?n?個?node，那么它有?n-1條邊。因為除了根節點，其他的節點都會有一條邊指向它。

2. 樹的品種

2.1 平衡二叉樹?Balanced Binary Tree：

• 定義：對于這棵樹里的每個節點，它的左子樹和右子樹的高度差不大于 1。

這里要注意，是對于每個節點，而不只是對于根結點。

比如左邊這棵樹就不是平衡二叉樹，右邊的才是。

那么大名鼎鼎的?AVL-Tree?就是平衡二叉樹，準確說是自平衡二叉查找樹。

那什么是二叉查找樹呢？

2.2 二叉查找樹?Binary Search Tree

• 定義：對于這棵樹里的每個節點，

  • 它左子樹里的每個節點的值都小于它的值；

  • 它右子樹里的每個節點的值都大于它的值。

對二叉查找樹，最重要的性質就是：

在做中序遍歷時，這個序列是一個升序序列。

當你在做二叉查找樹的算法題沒有思路時，可以想想這個性質，很多題目都會迎刃而解。

2.3 完全二叉樹?Complete Binary Tree：

• 定義：除了最后一層，其他層都是滿的，那么最后一層的節點要靠左排列且中間不允許有氣泡。

比如左邊不是完全二叉樹，右邊的是。

那么完全二叉樹的最大的好處就是因為它排列緊密沒有氣泡，所以可以用數組來存儲，這樣就大大節省了內存空間。

2.4 完美二叉樹?Perfect Binary Tree

• 定義：所有層的所有節點都必須是滿的。

完美二叉樹比完全二叉樹的定義更加嚴格，包括最后一層，每一層的節點都要是滿的，畢竟是追求完美的嘛。

所以我們如果知道了層數，就知道了它有多少個節點，也就是一個等比數列求和。

2.5 完滿二叉樹?Full Tree

• 定義：對于這棵樹的每個節點而言，要么有 0 個孩子，要么有 2 個孩子。

3. 高度和深度

樹的高度?height?和深度?depth?是兩個非常重要的概念，比如 Leetcode 104 和 111 就是專門求樹的高度的。

而這兩個概念是相反方向的，大體上呢，

• 高度是從當前節點到葉子 🍃 節點的；

• 深度是從當前節點到根 🌲 節點的。

高度?Height

• 定義：從該節點，到以該節點為根節點的這棵樹的最遠的葉子結點的最長距離。

核心是，從該節點到最遠葉子節點，有幾條邊。

這個概念在分析時空復雜度時非常常用，比如在樹上做一個遞歸復雜度是 O(height)。

為什么呢？

因為這個距離決定了在?call stack?上有多少層。

深度?Depth

• 定義：從這個節點到根節點的距離。

這個概念用的比較少，是和高度方向相反的概念。

看樹的角度

俗話說，橫看成嶺側成峰，這句話用在這里太合適不過了。

對于樹的幾種遍歷方式想必大家都不陌生，這就是我所說的「嶺」；

而還有一種面試常考題是問?left/right/vertical/border view，也就是求樹的左視圖、右視圖、俯視圖、border view 這我沒找到中文翻譯。。這就是我所說的「峰」。

先來總圖：

嶺

最基本的三種遍歷就是

• 前序?pre order

• 中序?in order

• 后序?post order

其實這三種遍歷方式本質都是一樣的，只是輸出/打印節點的順序不同罷了。

來看偽代碼吧：

public?void?traverse(TreeNode?node)?{if?(root?==?null)?{return;}//preOrderprint(root.value);traverse(root.left);?//真正的遍歷//inOrderprint(root.value);traverse(root.right);?//真正的遍歷//postOrderprint(root.value); }

真正的遍歷就這兩句話，無論是那種遍歷順序都是不變的，變的只是打印的順序罷了。

這三種遍歷都是深度優先遍歷?DFS，而層序遍歷是廣度優先遍歷?BFS。

DFS?和?BFS?都是圖的基本遍歷方式，我之后也會專門寫一篇。

那我們來看層序遍歷?level order traversal。

輸出?5 7 3 1 4.

參考 Leetcode 102 題。

也就是每一層按照從左到右的順序遍歷。

那么還有一種?Zigzag?的遍歷方式，就是一行從左到右，下一行從右到左這樣子。

輸出的就是?5 3 7 1 4.

參考 Leetcode 103 題。

峰

left/right/vertical/border view，也就是求樹的左視圖、右視圖、俯視圖，是非常愛考的一類題，它們是什么意思呢？

比如對于這棵樹，

左視圖?left view：

• 就是從左邊看的每層的第一個節點。

• [5, 7, 9]

右視圖?right view：

• 就是從右邊看的每層的第一個節點。

• [5, 3, 8]

這兩個應該比較簡單，在層序遍歷的時候保留我們需要的值就可以了。

當然還有其他方法，比如前序遍歷可以做左視圖，但不是那么的直觀，因為你還要判斷這個元素是否是當前層的第一個。大家有想法的可以在群里交流喲。（提示：可以再加一個變量

俯視圖

這個視圖比前兩個稍微難一點，在北美面試中是很愛考的。

首先這個圖中有一個變量叫?column，根節點為 0，左孩子 - 1，右孩子 + 1。

俯視圖指的是，從上往下看這棵樹，把 column 相同的這些節點放在一個 list 里，從上往下放，然后按照 column 從小到大的順序排出來。

所以對于這棵樹，它的俯視圖是：

[[7], [5, 9], [3], [8]]

這題就作為本文的思考題啦，不是很難，大家可以在評論區或者群里交流～

Border View

在講完前三種視圖之后，這個?border view?想必大家都能猜出來意思了。

就是求這棵樹的“輪廓”。

比如還是這棵樹，它的?border view?就是：

5, 7, 9, 8, 3

這題的大體思路不難，但是細節很多，而且很多條件可能就像我給的這樣并沒有定義清楚，所以你需要和面試官不斷的?clarify?很多細節。

普通的思路可以用

左視圖 + 葉子結點 + 反著的右視圖

來做，表面上來看需要做三遍遍歷，但是其實一遍遍歷就夠了，因為我剛才說過，DFS 遍歷時，哪種遍歷方式都是一樣的，只是在不同時間打印不同節點罷了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的面试常考的树，我这样讲给你听！的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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