求C(n,m)%mod的方法總結(jié)

1.當(dāng)n,m都非常小的時(shí)候能夠利用楊輝三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

2.利用乘法逆元。
乘法逆元：(a/b)%mod=a*(b^(mod-2)) mod為素?cái)?shù)。
逆元能夠利用擴(kuò)展歐幾里德或歐拉函數(shù)求得：

1).擴(kuò)展歐幾里德：b*x+p*y=1 有解，x就是所求2).費(fèi)馬小定理：b^(p-1)=1(mod p),故b*b^(p-2)=1(mod p),所以x=b^(p-2)

1. n!/(m!*(n-m)! =x%p ,先對(duì)算出n！、m！

、(n-m)!對(duì)p取模的余數(shù)。就轉(zhuǎn)換為a/b=x%p;由于p為素?cái)?shù)。所以等價(jià)于bx+py=a;然后用擴(kuò)展的歐幾里得定理算出 bx’+py’=1的解。x=x’*a，就得到了終于的x的值，即C(m,n)%p得值。

2.逆元 事實(shí)上假設(shè)mod是素?cái)?shù) 則b的逆元事實(shí)上就是b^(mod-2)
也就是 (m!(n-m)!)的逆元為 (m!(n-m)!)p-2 ；

int inv(int a) { //return fpow(a, MOD-2, MOD); return a == 1 ?

1 : (long long)(MOD - MOD / a) * inv(MOD % a) % MOD; } LL C(LL n,LL m) { if(m < 0)return 0; if(n < m)return 0; if(m > n-m) m = n-m; LL up = 1, down = 1; for(LL i = 0 ; i < m ; i ++){ up = up * (n-i) % MOD; down = down * (i+1) % MOD; } return up * inv(down) % MOD; }

3.當(dāng)n和m比較大，mod是素?cái)?shù)且比較小的時(shí)候（10^5左右）。通過(guò)Lucas定理計(jì)算

Lucas定理：A、B是非負(fù)整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)。A B寫(xiě)成p進(jìn)制：A=a[n]a[n-1]…a[0]。B=b[n]b[n-1]…b[0]。

則組合數(shù)C(A,B)與C(a[n],b[n])C(a[n-1],b[n-1])…*C(a[0],b[0]) mod p同余
即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

#include<iostream> //#include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int quick_power_mod(int a,int b,int m){//pow(a,b)%mint result = 1;int base = a;while(b>0){if(b & 1==1){result = (result*base) % m;}base = (base*base) %m;b>>=1;}return result; } //計(jì)算組合數(shù)取模 ll comp(ll a, ll b, int p) {//composite num C(a,b)%pif(a < b) return 0;if(a == b) return 1;if(b > a - b) b = a - b;int ans = 1, ca = 1, cb = 1;for(ll i = 0; i < b; ++i) {ca = (ca * (a - i))%p;cb = (cb * (b - i))%p;}ans = (ca*quick_power_mod(cb, p - 2, p)) % p;return ans; } ll lucas(ll n, ll m, ll p) {ll ans = 1;while(n&&m&&ans) {ans = (ans*comp(n%p, m%p, p)) % p;//also can be recusiven /= p;m /= p;}return ans; } int main(){ll m,n;while(cin>>n>>m){cout<<lucas(n,m,10007)<<endl;}return 0; }

C(n % mod, m % mod) % mod; 假設(shè)太大還是利用上面的逆元來(lái)處理。

半預(yù)處理
由于Lucas定理保證了階乘的數(shù)均小于p，所以能夠講全部的階乘先預(yù)處理，優(yōu)化C（n,m）
mod的要求：p<10^6，且為素?cái)?shù)
有效范圍：1<=n,m<=10^9

//半預(yù)處理 const ll MAXN = 100000; ll fac[MAXN+100]; void init(int mod) { fac[0] = 1; for (int i=1; i<mod; i++){ fac[i] = fac[i-1] * i % mod; } } //半預(yù)處理逆元求C（n。m）%mod ll C(ll n, ll m) { if ( m>n ) return 0; return fac[n] * (GetInverse(fac[m]*fac[n-m], mod)) % mod; }

4.另一種就是分解質(zhì)因子。這個(gè)比較麻煩。
http://www.mamicode.com/info-detail-621758.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[组合数]求组合数的几种方法总结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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