新學的科技。設\(f(x)\)為選\(x\)條白色邊的時候的最小生成樹權值和，那么可以猜到它應該是一個下凸函數的形式。

如圖，圖中\(x\)坐標表示選的白色邊條數，\(y\)坐標表示獲得的權值，那么我們就可以把\(f(x)\)在這個圖上大致表示出來。我們現在并不清除\(x\)和\(y\)，所以可以二分一下和這個凸函數相切直線的斜率。設這個直線為\(y = kx + b\)，那么對于一個固定的\(x\)，截距最小的時候，就是與函數相切的時候嘛，也是答案最優的時候。

我們把這個直線轉化成\(y - kx = b\)的形式。由于不清楚會選用幾條邊，所以可以提前給每一條白色邊都減去一個\(k\)，這樣不管選幾條邊其影響都可以被直接統計。也就是說我們現在就可以忽略選幾條邊的問題直接去最小化截距\(b\)了。在最小化截距的同時我們對\(y\)的值和\(x\)的值做一個記錄，這樣就可以做出應該取用左區間還是右區間的判定啦。

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;const int N = 50000 + 5; const int M = 100000 + 5; #define pii pair <int, int> #define mp(x,y) make_pair (x, y)struct Len {int u, v, w, c;void read () {cin >> u >> v >> w >> c;}bool operator < (Len rhs) const { return w == rhs.w ? c < rhs.c : w < rhs.w;} }L[M];int n, m, k, fa[N];int find (int x) {return x == fa[x] ? x : fa[x] = find (fa[x]); }pii Kruskal () {for (int i = 0; i < n; ++i) fa[i] = i;sort (L, L + m);int cnt = 0, ret = 0, wht = 0;for (int i = 0; i < m; ++i) {int fu = find (L[i].u);int fv = find (L[i].v);if (fu != fv) {cnt += 1;fa[fu] = fv;ret += L[i].w;wht += L[i].c == 0;}if (cnt == m - 1) break;} return mp (wht, ret); } signed main () { // freopen ("data.in", "r", stdin);cin >> n >> m >> k;for (int i = 0; i < m; ++i) {L[i].read ();}int l = -150, r = 150, ans = 0;while (l < r) {int mid = (l + r) >> 1;for (int i = 0; i < m; ++i) {if (L[i].c == 0) { // 白色 L[i].w -= mid;}} pii ret = Kruskal (); // cout << "l = " << l << " r = " << r << " mid = " << mid << " ret = (" << ret.first << ", " << ret.second << ")" << endl; if (ret.first >= k) {r = mid;ans = ret.second + mid * k;} else {l = mid + 1;}for (int i = 0; i < m; ++i) {if (L[i].c == 0) {L[i].w += mid;}}} // cout << l << " " << r << endl;cout << ans << endl; }

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總結

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