集合的勢是用來度量集合規(guī)模大小的屬性的。

如果存在著從集合A到集合B的雙射，那么稱集合A與集合B等勢，記為A~B。例：集合N={0,1,2…}，N 2={0,2,4，...}定義映射：f：N→N2 ，f（n）=2n，f是從N到 N2的雙射，從而N和N2 是等勢的。

有很多集合都和全體正整數(shù)的集合等勢，從而它們彼此也等勢，稱所有這樣的集合為“可數(shù)無窮的（countably?infinite）”。有很多無窮集合比全體正整數(shù)的集合的勢更大，稱所有這樣的集合為不可數(shù)無窮的（uncountably infinite）。但是，不存在無窮集合的勢比全體正整數(shù)的集合的勢更小。

簡單說來，勢就是集合的元素的個數(shù)。一個集合有三個元素，就稱其勢為3。

集合的勢也稱集合的基數(shù)（cardinal number）是用來衡量集合元素數(shù)量的量。兩個集合A,B等勢當(dāng)且僅當(dāng)可以找到這兩個集合之間的雙射，即兩集合的元素一一對應(yīng)，通常記作|A|=|B|（或可寫成A≈B）。集合A的基數(shù)小于等于集合B的基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在A到B的單射，記作|A|≤|B|。這兩個定義的直觀意義分別是他們的元素數(shù)量相同或更少。

但是注意，此意義下的基數(shù)還必須依附于集合上，這并不意味著每個集合都有它的基數(shù)（因為至今我們還沒有說基數(shù)到底是什么，只是說明了該如何比較集合的大小），也不意味著每個集合都可比較大小（因為有些無限集合之間你不能隨隨便便找到滿足條件的映射），如果不承認(rèn)選擇公理（Axiom of Choice），無法證明集合的基數(shù)大小具有三歧性（即對任意集合A,B總有|A|=|B|、|A|≤|B|或|A|≥|B|）。況且，通常情況下，如果沒有合適的定義，我們通常只能拿基數(shù)衡量有限集，而無限集的基數(shù)我們就無法給個準(zhǔn)確的表述了。對此必須對基數(shù)（勢）下一個嚴(yán)格的定義，當(dāng)然，你需要提前知道何為序數(shù)，見序數(shù)_百度百科。

一個序數(shù)κ是基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)κ=inf{ β | β是序數(shù) 且 β≈κ }。換句話說，在所有相互等勢的序數(shù)中，基數(shù)就是其中最小的那個。因此我們知道，所有基數(shù)都是序數(shù)。
當(dāng)然我們也可以定義序數(shù)的基數(shù)：對任意序數(shù)α，|α|=inf{ β | β是序數(shù) 且 β≈α }。那么我們會有對任意序數(shù)α，|α|≤α。所以，由于我們知道自然數(shù)集N的序數(shù)是ω，那么N的基數(shù)也顯然是ω（因為ω是最小的極限序數(shù)），但為了不致混淆，我們把N的基數(shù)記為??。

基數(shù)也可以運(yùn)算，對任意集合X和Y，對它們基數(shù)的運(yùn)算有如下定義：
(1)|X|+|Y|=|X∪Y|（X,Y不交）;(2)|X|×|Y|=|X·Y|;(3)|X|^|Y|=|X^Y|（映射族）。

可見對于任意一個集合，只有先把它變成良序集，并找到它的序型，才能找到基數(shù)。而處理良序的操作必須使用選擇公理，另外選擇公理也可以讓任意集合間構(gòu)造映射。所以，只有承認(rèn)選擇公理，所有集合才有基數(shù)，并且任意集合見才可比較大小。

更多內(nèi)容，詳見劉壯虎的《素樸集合論》，趙郝寬 楊躍 的《集合論：對無窮概念的探索》，或Thomas Jech的《Set Theory》，網(wǎng)上都能搜到。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的集合的势也称集合的基数（cardinal number）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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