2019獨(dú)角獸企業(yè)重金招聘Python工程師標(biāo)準(zhǔn)>>>

1． Implement exercise 2.3-7.

請給出一個運(yùn)行時間為θ(nlgn)的算法，使之能在給定一個由n個整數(shù)構(gòu)成的集合S和另一個整數(shù)x時，判斷出S中是否存在有兩個其和等于x的元素。

問題分析：

?????? 可以先將此問題分為兩個部分：集合S排序和查找，查找可以用時間復(fù)雜度為θ(lgn) 的折半查找，因此，若要滿足題目要求，排序算法的時間復(fù)雜度不可以超過θ(nlgn)。

?????? 時間復(fù)雜度為θ(nlgn)的算法有快速排序、堆排序和歸并排序，但快速排序在最壞情況下時間復(fù)雜度為θ(n*n)，堆排序適用于大量數(shù)據(jù)的情況，在數(shù)據(jù)量較小的情況下堆排序并不提倡使用，因此采用歸并排序算法。盡管它需要額外的空間，但好在題目沒有要求。

?????? 具體實(shí)現(xiàn)方法如下，首先將S排成有序集合，然后對S中的每一個元素si，判斷x-si是否在集合S中（折半查找），如此即可滿足題意。

源碼：

#include<iostream> using namespace std;void M(int* A,int l,int q,int r){int n1=q-l+1;int n2=r-q;int L[n1+1],R[n2+1];int i,j;for(i=0;i<n1;i++){L[i]=A[l+i];}for(j=0;j<n2;j++){R[j]=A[q+j+1];}L[n1]=1000;R[n2]=1000;i=0;j=0;for(int k=l;k<=r;k++){if(L[i]<=R[j]){A[k]=L[i];i++;}else{A[k]=R[j];j++;}} }void MSORT(int* A,int l,int r){if(l<r){int q=(l+r)/2;MSORT(A,l,q);MSORT(A,q+1,r);M(A,l,q,r);} }bool binarysearch(int* A,int y,int min,int max){int mid;while(min<=max){mid=(min+max)/2;if(A[mid]==y){return true;}if(A[mid]>y){max=mid-1;}else{min=mid+1;}}return false; }bool checksum(int* A,int x){int n=16;for(int i=0;i<n;i++){if(A[i]>=0&&binarysearch(A,x-A[i],0,15)){return true;}}return false; }int main(){int A[16],x;cout<<"Before sorting:"<<endl;for(int i=0;i<16;i++){A[i]=rand()%100;cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"Input x:";cin>>x;MSORT(A,0,15);cout<<"After sorting:"<<endl;for(int i=0;i<16;i++){cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;if(checksum(A,x)){cout<<"Find it!"<<endl;}else{cout<<"Do not exist!"<<endl;}system("pause");return 0; }

2． Implement priority queue.

問題分析：

?????? 以最大優(yōu)先級隊(duì)列為例：構(gòu)建優(yōu)先級隊(duì)列即為在一串亂序數(shù)字中，第k次將第k大的數(shù)字找出來，因此不進(jìn)行排序，直接構(gòu)造最大堆，然后將堆的根依次extract，即為最大優(yōu)先級隊(duì)列。

?????? 因?yàn)椴粚?gòu)建的最大堆進(jìn)行排序，僅僅是extract根節(jié)點(diǎn)，所以建堆階段時間復(fù)雜度要小于堆排序，而之后的heap_extract_max操作運(yùn)行時間為ο(lgn)，對n個元素，又堆中節(jié)點(diǎn)是逐漸減少，故時間復(fù)雜度小于ο(nlgn)。

源碼：

#include<iostream> using namespace std;int length=16; int heap_size;int parent(int i){return (i-1)/2; }int left(int i){return 2*i+1; }int right(int i){return 2*i+2; }void exchange(int& a,int& b){int t;t=a;a=b;b=t; }void max_heapify(int* A,int i){int l=left(i);int r=right(i);int largest;if(l<heap_size&&A[l]>A[i])largest=l;elselargest=i;if(r<heap_size&&A[r]>A[largest]){largest=r;}if(largest!=i){exchange(A[i],A[largest]);max_heapify(A,largest);} }void build_max_heap(int* A){heap_size=length; for(int i=length/2-1;i>=0;i--){max_heapify(A,i);} }/*int heap_maximum(int* A){return A[0]; }*/int heap_extract_max(int* A){if(heap_size<1){exit(-1);}int max=A[0];A[0]=A[heap_size-1];heap_size--;max_heapify(A,0);return max; }/*void heap_increase_key(int* A,int i, int key){if(key<A[i]){exit(-2);}A[i]=key;while(i>0&&A[parent(i)]<A[i]){exchange(A[i],A[parent(i)]);i=parent(i);} }*//*void max_heap_insert(int* A,int key){A[heap_size]=-1000;heap_increase_key(A,heap_size,key); }*/int main(){int A[20];int n;cout<<"Before Heapify;"<<endl;for(int i=0;i<length;i++){A[i]=rand()%100;cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;build_max_heap(A);cout<<"After Heapify:"<<endl; for(int i=0;i<length;i++){cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;/*cout<<"Input the number you want to insert:"<<endl;cin>>n;max_heap_insert(A,n);for(int i=0;i<length+1;i++){cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;*/cout<<"The priority queue is:"<<endl;for(int i=0;i<length;i++){cout<<heap_extract_max(A)<<" ";}cout<<endl;system("pause");return 0; }

3． Implement Quicksort and answer the following questions.

(1) How many comparisons will Quicksort do on a list of n elements that all have the same value?

(2) What are the maximum and minimum number of comparisons will Quicksort do on a list of n elements, give an instance for maximum and minimum case respectively.

問題分析：

?????? 此題目僅要求一個簡單的快速排序?qū)崿F(xiàn)，附帶兩個問題，在對快速排序理解的基礎(chǔ)上并不難完成。

?????? 作為對冒泡排序的一種改進(jìn)，快速排序成功的將平均時間復(fù)雜度降為Ο(nlog n)，每一趟排序它用分治法的策略把一個序列分為兩個子序列，我們學(xué)習(xí)的快速排序是一個原地分割的版本，也就降低了空間復(fù)雜度。

源碼：

#include<iostream> using namespace std;int n=0; void exchange(int& a,int& b){int t;t=a;a=b;b=t; }int PARTITION(int* A,int l,int r){int x=A[r];int i=l-1;for(int j=l;j<=r-1;j++){if(A[j]<=x){n++;i++;exchange(A[i],A[j]);}}exchange(A[i+1],A[r]);return i+1; }void QUICKSORT(int* A,int l,int r){if(l<r){int q=PARTITION(A,l,r);QUICKSORT(A,l,q-1);QUICKSORT(A,q+1,r);} }int main(){ // int A[7]={1,3,2,5,7,6,4};//bestint A[7]={1,2,3,4,5,6,7};//worstcout<<"Before Sorting;"<<endl;for(int i=0;i<7;i++){ // A[i]=11;cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;QUICKSORT(A,0,6);cout<<"After Sorting:"<<endl; for(int i=0;i<7;i++){cout<<A[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"Count:"<<n<<endl;system("pause");return 0; }

4． Give a divide and conquer algorithm for the following problem: you are given two sorted lists of size m and n, and are allowed unit time access to the ith element of each list. Give an O(lg m + lgn) time algorithm for computing the kth largest element in the union of the two lists. (For simplicity, you can assume that the elements of the two lists are distinct).

問題分析：

?????? 假設(shè)兩個有序的序列為從大到小排列。問題要求時間復(fù)雜度為O(lg m + lgn)，并且采用分治的方式，因此可將兩個序列（命名為A和B）分別從中間分開，子序列長度為m/2（設(shè)x）、n/2（設(shè)y）。這樣A[x]和B[y]就是A和B中間的元素。

?????? 設(shè)A[x]>B[y]（同理可得A[x]<B[y]的情況），這樣合并后A[x]之前的元素必然在B[y]之前，即B[y]之前至少有x+y+1個元素。若k<x+y+1，則可排除B序列的后半部分元素，也就是將B排除了一半。

?????? A[x]之后有m-x-1個元素，B[y]之后有n-y-1個元素，由于A[x]>B[y]，則A[x]之后有至少(m-x-1)+(n-y-1)+1=(m+n)-(x+y+1)個元素。這樣若k>x+y+1，則可將A[x]之前的元素排除，也就是將A排除了一半。

?????? 每一次比較必將A或者B排除一半，根據(jù)分治方法，不難判斷出算法的時間復(fù)雜度為O(lg m + lgn)。

源碼：

#include<iostream> using namespace std;int A[8]={0,3,6,7,11,14,16,23}; int B[13]={1,4,5,10,15,19,24,26,27,28,31,35,40};int searchk(int al,int ar,int bl,int br,int k){int am=(al+ar)/2;int bm=(bl+br)/2;if(al>ar) return B[bl+k-1]; if(bl>br) return A[al+k-1];if (A[am] <= B[bm]) { if (k <= (am - al) + (bm - bl) + 1) { return searchk(al, ar, bl, bm-1, k); } else { return searchk(am+1, ar, bl, br, k-(am-al)-1); } } else { if (k <= (am - al) + (bm - bl) + 1) { return searchk(al, am-1, bl, br, k); } else { return searchk(al, ar, bm+1, br, k-(bm-bl)-1); } } return -1; }int main(){int k;cout<<"INPUT K:";cin>>k;int n=searchk(0,7,0,12,22-k);cout<<"The "<<k<<"th largest element is "<<n<<endl;return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论上机题一的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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